Главные радиусы кривизны земного эллипсоида

Через произвольную точку на поверхности земного эллипсоида можно провести бесчисленное множество вертикальных плоскостей, которые образуют с поверхностью эллипсоида нормальные сечения. Два из них: меридианное и перпендикулярное ему сечение первого вертикала — носят название главных нормальных сечений.

Кривизна поверхности земного эллипсоида в разных ее точках различна. Более того, в одной и той же точке все нормальные сечения имеют разную кривизну. Радиусы кривизны главных нормальных сечений в данной точке являются экстремальными, т. е. наибольшими и наименьшими среди всех остальных радиусов кривизны нормальных сечений. Величины радиусов кривизны меридиана М и первого вертикала N в данной широте φ определяются по формулам:

M = a(1-e²) / (1 - e²*sin² φ)^3/2;

N = a / (1 - e²*sin² φ)½

где а — большая полуось эллипсоида, равная радиусу экватора.

Радиус кривизны r произвольной параллели эллипсоида связан с радиусом кривизны сечения первого вертикала соотношением

r = N cos φ

Величины радиусов кривизны главных сечений эллипсоида М и N характеризуют его форму вблизи данной точки. Для произвольной точки поверхности эллипсоида отношение радиусов

M / N = 1 - e² / 1 - e²*sin² φ

показывает, что в общем случае M < N.

На экваторе (φ = 0) M = а(1 — e²), N = a и M/N< 1, т. е. N>M и разность их на экваторе достигает максимума (N— M)_max = 42,5 км.

На полюсах (φ = 90°) N/M = 1, т. е. M = N.

Таким образом, на полюсах нормальные сечения становятся равными между собой, так как все они являются меридианными сечениями. Небольшую часть поверхности эллипсоида можно принять за часть поверхности шара..Радиус такого шара принимается равным среднему геометрическому из радиусов кривизны главных сечений в средней точке рассматриваемого участка поверхности

R = √ MN = a √ (1 - e²) / 1 - e² * sin² φ

 

Вычисление длины дуги меридиана и параллели

Зная радиус Земли, можно рассчитать длину большого круга (меридиана и экватора):

= 2 х 3,1459 х 6371 =40030 км.

Для приближенных расчетов можно принять 40 000 км. Определив длину большого круга, можно рассчитать, чему равна длина дуги меридиана (экватора) в 1° или в 1’:

1° дуги = S/360°=40 030 км/360°=111,2 км;

 

1’ дуги = 111,2 км/60’ = 1,853 км.

Длина каждой параллели меньше длины экватора и зависит от широты места. Длина дуги параллели определяется по формуле:

lпар = lэкв;

где lэкв — длина дуги экватора с заданной разностью долгот;

— широта параллели.

При определении длины дуги параллели следует помнить, что при одной и той же разности долгот длина дуги параллели с приближением к полюсам уменьшается, так как функция косинуса с увеличением угла убывает.