Обратная угловая засечка. Решение задачи Потенота

 

Определение координат промерного судна с берега прямой засечкой

Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы β₁ и β₂ измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Исходные данные: X_A, Y_A, α_AC,
X_B, Y_B, α_BD

Измеряемые элементы: β ₁, β₂

Неизвестные элементы: X, Y

Если α_AC и α_BD не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D.

Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол β₁ и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол β₂ и провести прямую линию BP; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.

Аналитическое решение. Приведем алгоритм варианта, соответствующий общему случаю засечки:

1. вычислить дирекционные углы линий AP и BP

(2.14),

(2.15)

2. написать два уравнения прямых линий

для линии AP Y - Y_A= tgα₁ * (X - X_A),

для линии BP Y - Y_B= tgα₂ * (X - X_B) (2.16)

3. решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные координаты X и Y:

(2.17),

(2.18)

Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы β₁ и β₂ измерены от направлений AB и BA, причем угол β₁ - правый, а угол β₂ - левый (в общем случае засечки оба угла - левые) - рис. 2.7.

Рис. 2.7

Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения при этом будет такой:

1. решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол α_AB и длину b линии AB,

2. вычислить угол γ при вершине P, называемый углом засечки,

(2.19)

3. используя теорему синусов для треугольника APB:

(2.20)

вычислить длины сторон AP (S₁) и BP (S₂),

4. вычислить дирекционные углы α₁ и α₂:

(2.21)

5. решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля - от пункта B к точке P.

Для вычисления координат X и Y в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга:

(2.22)

От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол α_AB линии AB и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B

BAP = α_AB - (α_AC + β₁) и ABP = (α_BD + β₂) - α_BA.