- Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы:
Это свойство вытекает из определения детерминанта и выражает равноправие строк и столбцов определителя.
- Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножееию определителя на это число:
.
Такое свойство определителей позволяет, в частности, выносить общий множитель элементов строки или столбца за знак определителя.
- Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный.
.
- Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю:
.
- Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю:
.
- Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю:
.
- Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
.
- Если все элементы k -ой строки (столбца) определителя представлены в виде сумм ak j + bk j, то определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей:
.
- Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число:
- Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда определитель произведения матриц равен произведению определителей:
