Формулировка[
Для начала, введём несколько определений.
Пусть
— матрица размера
, и пусть выбраны любые
строк матрицы
с номерами
и любые
столбцов с номерами
.
Определитель матрицы, получаемой из
вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме выбранных, называется минором
-го порядка, расположенным в строках с номерами
и столбцах с номерами
. Он обозначается следующим образом:

А определитель матрицы, получаемой вычеркиванием только выбранных строк и столбцов из квадратной матрицы, называется дополнительным минором к минору
:

где
и
— номера невыбранных строк и столбцов.
Алгебраическое дополнение минора
определяется следующим образом:

где
,
.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема Лапласа
Пусть выбраны любые строк матрицы . Тогда определитель матрицы равен сумме всевозможных произведений миноров -го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения.
где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов
|
Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать
столбцов из
, то есть биномиальному коэффициенту
.
Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.