Решение неоднородного линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
Для подбора частного решения Рассмотрим только те случаи, в которых корни характеристического уравнения – действительные числа.
Пример 18
Правая часть Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.
Найдём частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т. к.
Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях x в левой и правой частях уравнения
Тогда частное решение Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
|
─ линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и g.
─ общее решение соответствующего однородного уравнения;
─ частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
по виду правой части f(x) и корней характеристического уравнения можно пользоваться следующей таблицей.
─ действительное число
─ многочлен степени n >0 относительно x.
, 
, 
однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.
─ многочлен 2-ой степени, 
.
характеристическое уравнение; 
; 
─ корни уравнения различные, общее решение соответствующего однородного уравнения ─
не является корнем характеристического уравнения, т. е. 
,
, то вид частного решения 
; 
; 
. Найдём 
; 
и подставим полученные выражения 
в исходное уравнение
; 
;
, решая систему, получим 
.
.
