Решение неоднородного линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

─ линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и g.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

─ общее решение соответствующего однородного уравнения;

─ частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Для подбора частного решения по виду правой части f(x) и корней характеристического уравнения можно пользоваться следующей таблицей.

Рассмотрим только те случаи, в которых корни характеристического уравнения – действительные числа.

 

 

Правая часть уравнения f(x)	Корни характеристическо-го уравнения	Вид частного решения уравнения
1. ─ действительное число ─ многочлен степени n >0 относительно x.	а) ─ не является корнем характеристическо-го уравнения, т.е ,
б) ─ является корнем характеристическо-го уравнения = ,
в) ─ является двукратным корнем характеристичес-кого уравнения

 

Пример 18

однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Правая часть ─ многочлен 2-ой степени, .

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.

характеристическое уравнение; ; ─ корни уравнения различные, общее решение соответствующего однородного уравнения ─

Найдём частное решение неоднородного дифференциального уравнения,

т. к. не является корнем характеристического уравнения, т. е. ,

, то вид частного решения ; ; . Найдём ; и подставим полученные выражения в исходное уравнение

; ;

Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях x в левой и правой частях уравнения

, решая систему, получим .

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

.