Пример 19

; ; ; ,

; ; − многочлен нулевой степени, , ; корень характеристического уравнения, следовательно, частное решение будем искать в следующем виде: ;

; ;

; ; ; ; . Общее решение .

Пример 20

.

; ; ; ,

─ общее решение соответствующего однородного уравнения.

0, ─ двукратный корень характеристического уравнения

, n=0, , ;

; ;

; ; ; .

Общее решение ─ .

 

Пример 21 Исследовать ряд на сходимость а) б)

Решение: а) , ; ;

по признаку Даламбера ряд сходится;

 

б) , . По признаку Даламбера

< 1, ряд сходится.

 

ЗАДАНИЕ 1

 

Найти градиент функции в точке М и производную в этой точке по направлению вектора .

1. ; М (1;1); .

2. ; М (-1;2); .

3. ; М (2;1); .

4. ; М (4;1); .

5. ; М (1;2); .

6. ; М (0;2); .

7. ; М (-1;1); .

8. ; М (2;-1); .

9. ; М (3;1); .

10. ; М (-1;-1); .

11. ; М (2;1); .

12. ; М (2;2); .

13. ; М (3;1); .

14. ; М (1;1); .

15. М (2;3); .

16. М (2;-2); .

17. ; М (1;3); .

18. ; М (-1;5); .

19. ; М (3;4); .

20. М (-1;2); .

21. ; М (1;-2); .

22. ; М (2;-3); .

23. М (1;1); .

24. М (-1;1); .

25. М (2;-3); .

ЗАДАНИЕ 2

 

Исследовать на экстремум функцию.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

 

ЗАДАНИЕ 3

 

Определить условные экстремумы функций.

1. при .

2. при .

3. при .

4. при .

5. при .

6. при .

7. при .

8. при .

9. при .

10. при .

11. при .

12. при .

13. при .

14. при .

15. при .

16. при .

17. при .

18. при .

19. при .

20. при .

21. при .

22. при .

23. при .

24. при , , .

25. при , , .