Решение типовых задач. Задача 1. Мыловаренный завод произвел за отчетный период следующее количество продукции, т.:

Задача 1. Мыловаренный завод произвел за отчетный период следующее количество продукции, т.:

мыло хозяйственное 40%-ное – 25,0; мыло туалетное – 20,0;

мыло хозяйственное 60%-ное – 22,0; порошок стиральный – 55,0.

Определите общий выпуск продукции в пересчете на условное 40%-ное мыло по следующим переводным коэффициентам: мыло 60%-ное и туалетное – 1,75, порошок стиральный – 0,5.

Решение. Перемножив фактический выпуск продукции на коэффициенты пересчета в условное 40%-ное мыло, получим:

25·1.0 + 22.0·1.75 + 20.0·1.75 + 55.0·0.5 =

= 126 тыс. т условного 40%-ного мыла.

Задача 2. По плану предусматривалось собрать по 30 ц пшеницы с гектара, а собрано по 33 ц. Определить выполнение плана по урожайности.

Решение. Поделим фактическую урожайность на плановую и получим:

(33 × 100)/30 = 110%

План по урожайности выполнен на 110%, или перевыполнен на 10%.

Задача 3. Планом предприятия предусматривалось повысить производительность труда на 5% и снизить затраты на 2%. Фактически производительность труда возросла на 6%, затраты были снижены на 4%. Определите выполнение плана по росту производительности труда и снижению затрат.

Решение. Степень выполнения плана по повышению производительности труда равна отношению достигнутого уровня - 106% (100% + 6%) к показателю плана - 105% (100% +5%) в процентах:

(106 × 100)/105 = 101%

Аналогично, фактическое снижение затрат - 96% (100% - 4%), а плановое - 98% (100% - 2%) их отношение дает 98%, т.е. план по снижению затрат перевыполнен на 2%.

Задача 4. Плановое задание по выпуску продукции на 1995 г. составило 04%, а выполнено на 105%. Определить относительную величину динамики.

Решение. Здесь 104% - это относительная величина планового задания, а 105%- это относительная величина выполнения плана, а так как ОВД = ОВВП × ОВПЗ, то (104 × 105)/100 = 109,2%, т.е. выпуск продукции в 1995 г. составил по сравнению с 1994 годом 109,2% или увеличился на 9,2%.

Задача 5. По данным переписи населения 1970 г. в СССР проживало в возрасте 100 лет и старше 19304 чел., из них мужчин - 4252 чел., женщин - 15052. Определите структуру долгожителей по полу и относительную величину координации, приняв число мужчин за базу, равную 100.

Решение. Для вычисления относительных величин структуры нужно разделить значение каждой части на общий итог, принимаемый за целое (100%). Количество мужчин и женщин в возрасте 100 лет и старше надо поделить на общее их число или исчислить удельный вес мужчин, а затем отнять его от 100%:

(4250 × 100)/19304 = 22% мужчин

женщин - 78% (100%-22%).

Относительные величины координации характеризуют соотношение отдельных частей совокупности. В задаче требуется вычислить соотношение между численностью мужчин и женщин в возрасте 100 лет и старше. Для этого, приняв число мужчин за базу сравнения, равную 100, поделим численность женщин на численность мужчин и получим

(15052 × 100)/4252 = 354

Это значит, что на каждые 100 мужчин в возрасте 100 лет и старше приходится 354 женщины в том же возрасте.

 

РАЗДЕЛ 4. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

 

Средней величиной называется показатель, который дает обобщенную характеристику варьирующего признака единиц однородной совокупности.

Средняя отражает то общее, что скрывается в каждой единице совокупности, улавливает общие черты, общую тенденцию, закономерность, присущую данному распределению, она является равнодействующей, потому что в ней находит свое отражение, суммируется и синтезируется влияние всей совокупности факторов, под воздействием которых формируется ряд распределения. Средняя дает также характеристику центра распределения.

 

4.1. Средняя арифметическая

Обозначив индивидуальные значения признака через

x ₁, x ₂, x ₃, … …, x _n,

их количество - через n, можно записать:

Исчисленная таким образом средняя называется средней арифметической простой, т.е. она равна частному от деления суммы индивидуальных значений признака на их количество.

Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда каждое индивидуальное значение признака встречается один, или одинаковое количество раз, т. е. когда средняя рассчитывается по несгруппированным данным.

В том случае, когда мы имеем дискретный ряд распределения, т. е. когда значение признака встречается несколько раз, применяют среднюю арифметическую взвешенную, рассчитываемую по формуле:

Таблица 4.1

Заработная плата рабочих цеха за месяц, тыс. руб.

з/п (Х)
кол. (f)

По данным таблицы средняя заработная плата рассчитывается:

(100×2+200×5+300×20+400×30+500×15+600×10+700×5) / 87 = 36200 / 87 = 416 тыс.руб.

Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме произведений индивидуальных значений признака x на их частоты или веса f, поделенной на сумму частот ∑; f.

Довольно часто в статистике приходится вычислять среднюю арифметическую в интервальном ряду, среднюю из групповых средних и среднюю из относительных величин.

При вычислении средней интервального ряда необходимо найти середину каждого интервала, и, взяв ее за значение признака использовать формулу средней арифметической взвешенной.

При вычислении средней из групповых (или частных) средних (например, при вычислении средней заработной платы по отрасли, когда имеется средняя заработная плата по предприятиям этой отрасли), в качестве индивидуальных значений признака берется соответствующая групповая средняя и рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной.

При вычислении средней из относительных величин в качестве весов (или частот) берут основание относительной величины, а в качестве значения признака - соответствующую этому основанию относительную величину.

 

Свойства средней арифметической

1) Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин.

2) Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равно нулю.

3) Если все варианты ряда (значения признака) изменить на одно и то же число a или изменить в A раз, то и средняя изменится на a или в A раз соответственно.

4) Если все частоты ряда изменить в A раз, то средняя не изменится.

 

4.2. Средняя гармоническая

Во многих статистических исследованиях приходится сталкиваться с таким положением, когда известны значения индивидуального признака - x и произведения x×f, т.е. действительные значения весов (частот) неизвестны. В этом случае расчет средней производится с использованием среднейгармонической взвешенной, которая определяется по формуле:

где Z=x×f, т.е. произведению значения признака на частоту.

В тех случаях, когда произведения x×f одинаковы или равны единице

x ₁∙ f ₁ = x ₂∙ f ₂ = … … = x_n ∙ f_n; x ₁∙ f ₁ = x ₂∙ f ₂ = … … = x_n ∙ f_n = 1,

применяется средняя гармоническая простая, определяемая по формуле:

где x - отдельные варианты (значения признака);

n - число наблюдений (общее число признаков или вариант).

Таким образом, средняя гармоническая представляет собой особый вид средней, которая применяется в тех случаях, когда известны варианты x и произведения вариантов на частоты - x×f, при отсутствии действительных весов.

4.3. Средняя геометрическая

В некоторых случаях приходится вычислять средний коэффициент роста в единицу времени. Коэффициент роста характеризует скорость изменения статистических показателей и представляет собой отношение величины показателя за два периода времени, как правило, за ряд смежных лет (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Выпуск продукции предприятием за 1990 - 1993 гг. (у.д.е.)

Годы Показатели
Выпуск продукции, y	20.0	22.0	26.4	50.1
Коэффициент роста выпуска продукции по сравнению с предыдущим годом, к	-	22.0:20.0=1.1	26.4:22.0=1.2	50.1:26.4=1.9

 

Средняя, которая отражает средний коэффициент роста показателя за определенный период называется средней геометрической, которая равна корню степени m из произведений коэффициентов роста (m - число коэффициентов роста),

Средний коэффициент роста (среднюю геометрическую) можно определить и по значениям первого и последнего членов динамического ряда. Если первый уровень ряда обозначить , а последний - , то ,

где n - число членов ряда (число лет).

4.4. Средняя квадратическая

В тех случаях, когда осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций, применяется средняя квадратическая. Средние диаметры колес, труб, стволов, средние стороны квадратов и т.д. определяются при помощи средней квадратической.

Средняяквадратическая простая вычисляется путем извлечения квадратного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

4.5. Соотношение между различными видами средних
(мажорантность средних)

Все выше рассмотренные виды средних величин можно получить из формулы степенной средней вида

При различных значениях показателя получаются различные средние, средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая и квадратическая.

Мажорантность средних состоит в том, что средняя некоторого вида всегда больше средней некоторого другого вида (для признака, не могущего иметь отрицательных значений). В частности, если для одной совокупности вычислить средние гармоническую, геометрическую, арифметическую и квадратическую, то по численному значению они расположатся в возрастающем порядке. Порядок возрастания этих средних определяет показатель степени k в формуле степенной средней, т.е. чем больше k, тем больше средняя (табл.4.3).

Таблица 4.3

Порядок возрастания средних

k	-1
Название средней	гармоническая	геометрическая	арифметическая	квадратическая

Подробно общее условие мажорантности т.е. соотношения между различными видами средних было сформулировано А. Я. Боярским. Проиллюстрируем правило мажорантности геометрически (см. рисунок).

 

 

 

 

Соотношение между средней арифметической и средней геометрической двух чисел

 

Опишем на отрезке c = a + b, как на диаметре, полукруг и восстановим из общей точки отрезка a и b перпендикуляр, длина которого будет равна. . Восстановим также перпендикуляр из центра полукруга, длина которого будет равна (a + b)/2.

Из рисунка видно, что средняя геометрическая меньше средней арифметической. При этом, чем меньше отличаются отрезки а и b друг от друга, тем меньше разница между средними.

 

4.6. Мода и медиана

Кроме средних в статистике для описательной характеристики величины варьирующего признака пользуются показателями моды и медианы.

Мода - это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей, наиболее распространенной цены на тот или иной товар и пр.

Модой в дискретном ряду называется варианта (значение признака), имеющая наибольшую частоту (повторяющаяся самое большое количество раз), например: имеем данные о продаже магазином обуви по размерам (табл.4.4):

Таблица 4.4

Размер обуви x								Итого
Число пар f
Накопленная частота

 

В этом примере модой является 35-й размер, так как обуви такого размера продано больше всего - 187 пар.

Если мы имеем интервальный ряд, то для определения моды необходимо сначала определить модальный интервал, причем, если интервалы равны, то модальный интервал определяется по наибольшей частоте, а если неравны, то по наибольшей плотности. При равных интервалах мода внутри модального интервала может определяться по формуле:

Мо

где x ₀ - нижняя граница модального интервала;

h - величина (ширина) интервала; f _m - частота модального интервала;

f_{m -1} - частота интервала, предшествующего модальному;

f _m+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Мода является наиболее распространенной и в этом смысле типичной величиной в распределении. Но мода и средняя величина по разному характеризуют совокупность. Мода определяет непосредственно размер признака, свойственный хотя и значительной части, но все же не всей совокупности. Поэтому мода по своему обобщающему значению уступает средней, которая характеризует совокупность в целом, так как складывается под воздействием всех без исключения элементов совокупности.

При наличии одной моды распределение называют унимодальным, при двух модах - бимодальным, при трех и более модах - мультимодальным.

Медианой называется варианта, которая приходится на середину ряда, расположенного в порядке возрастания или убывания численных значений признака. Медиана делит ряд на две равные части.

Если в совокупности нечетное число единиц, т. е. 2 m +1, то значение признака у (m +1)-ой единицы будет медианным. Если в совокупности четное число, т.е. 2∙ m единиц, то медиана равна средней арифметической из двух серединных значений вариантов.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот, а затем определяют, какое значение признака приходится на нее. В примере с размером обуви (см. табл.4.4) медианой является 35-й размер, так как именно он приходится на полусумму частот (500:2=250). Это значит, что 35-й размер делит ряд на две равные части.

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда вначале определяют медианный интервал, т.е. первый интервал, накопленная частота которого принимает полусумму частот, а затем приближенное значение медианы по формуле:

Ме

где f_m - сумма частот;

x ₀ - нижняя граница медианного интервала; h - ширина интервала;

S_{m -1} - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному;

f_m - частота медианного интервала.

Главное свойство медианы состоит в том, что сумма абсолютных отклонений вариантов от медианы меньше, чем от любой другой величины (в том числе и от средней арифметической):

∑| x -Ме| = min.

Медиану, являющуюся описательной характеристикой вариационного ряда, иногда называют непараметрической средней. Медиана меньше, чем средняя арифметическая, зависит от формы распределения признака. Она не зависит ни от амплитуды колебаний ряда, ни от распределения частот в пределах двух равных частей ряда. Вот почему в медиане не находят отражения важные свойства совокупности и она используется обычно для решения некоторых частных задач, связанных с определением оптимума, совпадающего с вариантой, приходящейся на середину ряда.

Мода и медиана являются описательными характеристиками совокупностей с количественно варьирующими признаками и не могут заменить среднюю обобщающую величину. Величина моды и медианы, как правило, отличается от величины средней, совпадая с ней только в случае симметрии вариационного ряда.