Задача о диете

Исторические задача о диете является одной из первых задач линейного программирования.

Постановка задачи - первый и наиболее важный этап построения модели, способный обеспечить правильное решение проблемы.

Даме необходимо похудеть, за помощью обратилась к подруге.

Построение модели - рассмотрение этого этапа и является главной целью.

Подруга посоветовала перейти на рациональное питание, состоящее из двух продуктов P и Q.

Суточное питание этими продуктами должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но не менее 300 калорий. На упаковке продукта Р написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на упаковке с продуктом Q - 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 килограмма продукта Р равна 15 руб., а 1 кг продукта Q - 25 руб.

Так как дама была стеснена в средствах, но ее интересовал вопрос: в какой пропорции нужно брать эти продукты для того, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег?

Перейдем к формализации данной ситуации на языке математических символов.

Обозначим через х количество продукта Р и через у количество продукта Q, требуемые для выполнения условий диеты.

Количество единиц жира, содержащегося в х кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 15 х + 4 и по условию диеты не должно превосходить 14:

В свою очередь, количество калорий, содержащихся в х кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 150 х + 200 у и по условию диеты должно быть не меньше 300:

Теперь о стоимости z продуктов. Она равна

и в соответствии с высказанными пожеланиями должна быть минимальной.

Последнее записывается так:

Тем самым мы получили систему формул:

которую решим графическим способом.

Нас интересует только та ее часть, которая лежит над треугольником BDE. Вычисляя значения z во всех трех вершинах этого треугольника

и сравнивая полученные результаты, замечаем, что наименьшее значение (35) достигается в вершине Е. Таким образом,

и искомая пропорция - 2: 3.