Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания не­обходимо сложить. Сложим гармониче­ские колебания одного направления и оди­наковой частоты

воспользовавшись методом вращающего­ся вектора амплитуды (см. § 140). Постро­им векторные диаграммы этих колебаний (рис.203). Так как векторы a 1 и А 2 вра­щаются с одинаковой угловой скоростью w₀, то разность фаз (j₂-j₁) между ними остается постоянной.

Очевидно, что уравнение результирую-

 

 

щего колебания будет

х=х ₁ +х ₂ =А cos(w₀ t +j). (144.1)

В выражении (144.1) амплитуда А и начальная фаза j соответственно за­даются соотношениями

Таким образом, тело, участвуя в двух гар­монических колебаниях одного направле­ния и одинаковой частоты, совершает так­же гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (j₂-j₁) складываемых ко­лебаний.

Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз (j₂-j₁):

1) j₂-j₁=±2mp (m = 0, 1, 2,...), тог­да A=A ₁ +A ₂, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме ампли­туд складываемых колебаний;

2) j₂-j₁= ±(2m+1)p (m=0, 1, 2,...), тогда A = │A ₁ -A ₂ │, т.е. амплиту­да результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых коле­баний.

Для практики особый интерес пред­ставляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового на­правления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически из­меняющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возника­ющие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называ­ются биениями.

Пусть амплитуды складываемых коле­баний равны А, а частоты равны w и w+Dw, причем Dw<<w. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колеба­ний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Dw/2<<w, найдем

Получившееся выражение есть произведе­ние двух колебаний. Так как Dw<<w, то сомножитель, стоящий в скобках, почти не изменяется, когда сомножитель coswt со­вершит несколько полных колебаний. По­этому результирующее колебание х мож­но рассматривать как гармоническое

 

с частотой w, амплитуда А _б, которого изме­няется по следующему периодическому за­кону:

Частота изменения A _б, в два раза боль­ше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых ко­лебаний: w_б=Dw. Период биений

T_б=2p/Dw.

Характер зависимости (144.3) показан на рис. 204, где сплошные жирные линии да­ют график результирующего колебания (144.3), а огибающие их — график мед­ленно меняющейся по уравнению (144.4) амплитуды.

Определение частоты тона (звука оп­ределенной высоты (см. §158)) биений между эталонным и измеряемым колеба­ниями — наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений ис­пользуется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

Любые сложные периодические коле­бания s=f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершаю­щихся гармонических колебаний с различ­ными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте w_0:

Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятием гар­монического анализа сложного периодиче­ского колебания,или разложения Фурье.

Члены ряда Фурье, определяющие гармо­нические колебания с частотами w₀, 2w₀, 3w₀,..., называются первой (или основной),

второй, третьей и т. д. гармониками слож­ного периодического колебания.