Представление информации в ЭВМ. Прямой код

В современных ЭВМ используются, в основном, два способа представления двоичных чисел — с фиксированной и с плавающей запятой, причем в формате с фиксированной запятой (ФЗ) используется как беззнаковое представление чисел ("целое без знака"), так и представление чисел со знаком. В последнем случае знак также кодируется двоичной цифрой — обычно плюсу соответствует 0, а минусу — 1. Под код знака обычно отводится старший разряд а₀ двоичного вектора а₀а₁а₂...a_n, называемый знаковым.

(Страница47)

Запятая может быть фиксирована после любого разряда двоичного числа, однако чаще всего используются два формата ФЗ: целые числа, когда запятая фиксируется после младшего разряда a_n, а диапазон представления лежит в пределах

(3.12)

и дробные числа — запятая фиксирована после a_0, а диапазон

(3.13)

Далее, если не сделано специальных оговорок, будем рассматривать дробные двоичные числа со знаком, запятая в которых фиксирована после знакового разряда a₀:

(3.14)

Очевидно, если двоичное число A=0, а₁а₂а₃...a_n>;0, то оно будет представлено в форме (3.14) как 0, а₁а₂а₃...a_n, а если A=0, а₁а₂а₃...a_n<;0, то как 1, а₁а₂а₃...a_n. Приведенное кодирование дробных двоичных чисел со знаком принято называть прямым кодом числа (обозначается как [A]_d). Итак

(3.15)

3.4. Алгебраическое сложение/вычитание в прямом коде

Сформулируем правила выполнения операций сложения и вычитания чисел со знаками (такие операции принято называть алгебраическими). Во-первых, алгебраическое вычитание всегда можно свести к алгебраическому сложению, изменив знак второго операнда. Далее следует сравнить знаки слагаемых. При одинаковых знаках складывают модули слагаемых и результату присваивают знак любого слагаемого (они одинаковые). Если знаки слагаемых разные, то из большего модуля слагаемого вычитают меньший модуль и присваивают результату знак слагаемого, имеющего больший модуль.

(Страница48)

Введем обозначения:

где:

□ a₀, b₀ — знаковые разряды слагаемых;

□ с₀ — код знака результата;

□ — двоичные переменные;

□ f — тип выполняемой операции: f =0 — сложение, f= 1 — вычитание;

□ OV — признак переполнения,

и выразим сформулированный выше алгоритм алгебраического сложения/вычитания в форме граф-схемы алгоритма (ГСА), приведенной на рис. 3.3.

Отдельно следует рассмотреть проблему обнаружения факта переполнения разрядной сетки данных с фиксированной запятой. Это может произойти, если

Очевидно, при сложении чисел с разными знаками переполнение невозможно. Если знаки слагаемых одинаковы, признаком переполнения может служить перенос, возникающий при сложении старших разрядов модулей а₁+b₁. При отсутствии этого переноса сложение двух любых одинаковых знаковых разрядов даст в результате с₀=0, а при появлении переноса из первого разряда с₀=1. Таким образом, после сложения чисел с одинаковыми знаками значение знакового разряда суммы можно рассматривать как признак переполнения OV.

Характерно, что полученное в знаковом разряде с₀ значение не является знаком результата (алгебраической суммы). Истинное значение знака образуется не в процессе арифметической операции над знаковыми разрядами, а формируется искусственно.

Рассмотрим случай сложения чисел с разными знаками. Он сводится к вычитанию модулей слагаемых, причем уменьшаемым должен стать больший модуль. Чтобы избежать дополнительной модульной операции сравнение,можно произвести "наугад" вычитание A - В. Признаком того, будет отсутствие заема из нулевого в первый разряд. Поскольку рассматривается случай разных знаков слагаемых, то при отсутствии заема значение знакового разряда разности определится как 0-1=1-0=1, а при наличии заема 0-1-1=1-0-1=0. Таким образом, если при вычитании A - В получим c₀=1, это будет означать, что и результату следует присвоить знак числа A (с₀:= а₀). Если окажется с₀ =0, то и следует осуществить вычитание B - А, присвоив результату знак числа B (с₀ :=b₀).

Рис. 3.3. Граф алгоритма алгебраического сложения-вычитания