П.2. Значение формулы логики предикатов

О логическом значении формулы логики предикатов можно говорить лишь тогда, когда задано множество М, на котором определены входящие в эту формулу предикаты. Логическое значение формулы логики предикатов зависит от значения трех видов переменных, входящих в формулу:

а) переменных высказываний;
б) свободных предметных переменных из множества М;
в) предикатных переменных.

При конкретных значениях каждого из трех видов переменных формула логики предикатов становится высказыванием, имеющим истинное или ложное зна­чение.

Пример 2. Дана формула , где предикаты Р (x), Q (x) и R (x) определены на множестве N. Найти ее значение, если

1) Р (x): «число х делится на 3», Q (x): «число х де­лится на 4», R (x): «число х делится на 2»;

2) Р (x): «число х делится на 3», Q (x): «число х де­лится на 4», R (x): «число х делится на 5».

Решение. В обоих случаях конъюнкция Р (x)& Q (x) есть утверждение, что число х делится на 12. Но тогда при всех х, если число х делится на 12, то оно делится и на 2, и, значит, в случае 1) формула истинна.

Так как из делимости числа х на 12 не при всех х сле­дует делимость числа х на 5, то в случае 2) формула ложна.

Пример 3. Вычислить значение формулы , если предикат Р (х, у) имеет значение Р ⁰(х, у) – «число х меньше числа у» и определен на множестве М = N × N.

Решение. Так как при указанном значении предика­та Р (х, у) высказывание означает утвержде­ние, что для любого натурального числа х найдется нату­ральное число у, большее числа х, то это высказывание истинно. В то же время высказывание оз­начает утверждение, что существует натуральное число х, которое меньше любого натурального числа у, которое ложно. При этом исходная формула, очевидно, ложна.