Итоговая аттестация

Вопросы к экзамену по дисциплине “Математический анализ”.

1. Числовые множества. Множества N и Z. Операции сложения и умножения в этих множествах и их свойства.

2. Множества Q и R. Свойства арифметических операций в этих множествах.

3. Кванторы существования и общности, их значение и применение в записи математических выражений. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числовых множеств.

4. Операции над множествами. Объединение, пересечение и дополнение множеств.

5. Понятие числовой последовательности. Способы задания числовой последовательности.

6. Понятие предела последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.

7. Определение предела числовой последовательности. Единственность предела.

8. Свойства сходящихся последовательностей. Ограниченные числовые последовательности и их свойства.

9. Способы вычисления пределов последовательностей (с примером).

10. График функции. Преобразование графиков функций.

11. Монотонные числовые последовательности. Точная верхняя и нижняя грани числовой последовательности.

12. Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности (критерий Коши).

13. Определение функции. Способы задания функций. Композиция функций.

14. Точки экстремума. Необходимое и достаточное условия существования экстремума в точке.

15. Ограниченные и неограниченные функции. Функции, ограниченные сверху и ограниченные снизу. Монотонные функции.

16. Сложная функция. Понятие обратной функции и условие ее существования.

17. Неявно заданные функции. Функции, заданные параметрически.

18. Определение предела функции по Коши. Другие определения предела. Их эквивалентность.

19. Различные типы пределов функции. Односторонние конечные пределы функции в точке. Бесконечные пределы функции в конечной точке.

20. Различные типы пределов функции. Односторонние бесконечные пределы в точке. Конечный предел функции в бесконечности.

21. Локальные свойства функции, имеющей предел. Ограниченность функции, имеющей предел в точке. Знакопостоянство функции в окрестности предельной точки.

22. Свойства функций, имеющих предел, связанные с арифметическими операциями над ними. Теоремы о пределах.

23. Бесконечно малые функции. Их связь с бесконечно большими. Свойства бесконечно малых функций.

24. Теорема о существовании предела монотонной функции на отрезке. Свойства функции, непрерывной на отрезке.

25. Понятие непрерывности функции в точке. Определение непрерывности. Непрерывность функции в точке справа и слева.

26. Точки разрыва функции и их классификация.

27. Нахождение точек разрыва функций. Локальные свойства непрерывных функций.

28. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малых функций и их использование при вычислении пределов.

29. Первый и второй замечательный пределы (один с выводом). Их применение при вычислении пределов.

30. Сравнение бесконечно малых функций. Критерий определения бесконечно малой более высокого порядка, Понятие производной функции. Геометрический и физический смысл производной. Понятие односторонней производной.

31. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

32. Определение дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.

33. Правила дифференцирования функций (одно с выводом).

34. Дифференцирование функций, заданных неявно. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

35. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.

36. Дифференцирование сложной функции. Теорема о дифференцировании обратной функции.

37. Теорема Ферма (с доказательством).

38. Теорема Ролля (с доказательством).

39. Теорема Лагранжа (с доказательством).

40. Теорема Коши. Правило Лопиталя и его применение к нахождению пределов функций.

41. Логарифмическое дифференцирование. Привести пример.

42. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

43. Точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба.

44. Промежутки выпуклости и вогнутости.

45. Асимптоты графика функции.

46. Общая схема исследования функции.

47. Числовые ряды. Частичная сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимый признак сходимости ряда.

48. Основные признаки сходимости рядов (с примером).

49. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признаки их сходимости (с примером).

50. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости.

51. Теорема Тейлора. Формула Маклорена. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.

52. Понятие первообразной. Неопределённый интеграл и его основные свойства.

53. Таблица основных интегралов.

54. Основные методы интегрирования. Способ замены переменной.

55. Основные методы интегрирования. Интегрирование по частям (с примером).

56. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей (с примером).

57. Основные методы интегрирования. Интегрирование тригонометрических функций (с примером). Универсальная тригонометрическая подстановка.

58. Основные методы интегрирования. Нахождение интегралов от иррациональных выражений (с примером).

59. Определённый интеграл. Основные свойства, условие существования.

60. Способы вычисления определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям.

61. Геометрический и физический смысл определённого интеграла.

62. Приложения определённого интеграла. Вычисление площадей фигур в декартовых координатах.

63. Приложения определённого интеграла. Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям. Объёмы тел вращения.

64. Приложения определённого интеграла. Длина дуги плоской кривой. Площадь поверхности вращения.

65. Приближённое вычисление определённых интегралов. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

66. Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами.

67. Несобственные интегралы. Интегралы от разрывных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.

68. Системы координат в пространстве. Функция двух переменных: способы задания, геометрическое представление. Функции более двух независимых переменных.

69. Предел функции двух переменных.

70. Понятие области. Замкнутые и ограниченные области. Точки и линии разрыва.

71. Непрерывность функции двух переменных. Функции, непрерывные в замкнутой области.

72. Частные производные 1– го порядка. Частные производные высших порядков.

73. Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных.

74. Геометрический смысл полного дифференциала. Приближённые вычисления с помощью дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

75. Производная по направлению.

76. Градиент функции и его геометрический смысл.

77. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

78. Локальный экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.

79. Глобальный экстремум функции двух и нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

80. Условный экстремум функции двух переменных.