Дифференциальные уравнения первого порядка

 

Основные понятия и определения.

А. Уравнение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у=у(х) и её первую производную у^/, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Оно имеет вид

F(x,y,y^/)=0, (1)

или вид

y^/=f(x,y), (2)

где F(x,y,y^/) и f(x,y) заданные функции своих аргументов. Часто встречается и такая запись дифференциального уравнения:

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0. (3)

Решением дифференциального уравнения называется функция y=j(x), которая будучи поставленной в уравнение, обращает его в тождество относительно переменной x.

Если решение дифференциального уравнения задано в неявном виде Ф(x,y)=0, то оно обычно называется интегралом.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Задачей Коши называют задачу нахождения решения y=y(x) уравнения (2), удовлетворяющего начальному условию

y(x_o)=y_o (4)

Теорема (существование и единственность решения задачи Коши). Если функция f(x,y) определена в замкнутой области и удовлетворяет в ней двум условиям:

1) непрерывна и, следовательно, ограничена, т.е. существует число , что ;

2) удовлетворяет относительно переменной y условию Липшица, т.е. для любых точек , что

то уравнение (2) имеет единственное решение у=у(х), удовлетворяющее начальному условию (4), определенное и один раз непрерывно дифференцируемое в промежутке [x₀-h, x₀+h], где

Общим решением дифференциального уравнения (1.2) называется функция зависящая от одной произвольной постоянной С и удовлетворяющая двум условиям:

1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях С;

2) каково бы ни было начальное условие (4), можно подобрать значение С₀ произвольной постоянной С, что решение будет удовлетворять заданному начальному условию (4).

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, которое получается из общего решения при фиксированном значении С.

Соотношение вида F(x,y,C)=0, неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

B. Задачи и примеры для самостоятельного решения.

Выяснить, являются ли решениями (или интегралами), данных дифференциальных уравнений указанные функции:

 

С. Примеры решения задач.

1₀. Показать, что функция является решением дифференциального уравнения .

Решение. Вычислим производную данной функции

Отсюда

т.е. данная функция является решением дифференциального уравнения.

2₀. Доказать, что при каждом функция , определяемая соотношением , является решением дифференциального уравнения

Решение. Применяя к данному соотношению правило дифференцирования неявной функции, имеем

Þ Þ Þ

Подставляя найденное значение в данное дифференциальное уравнение, получаем тождество