Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дифференциальное уравнение вида





M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

называется однородным, если коэффициенты М(х,у) и N(х,у) – однородные функции одной и той же степени. Однородные уравнения могут быть записаны в виде

,

где f(x,y) однородная функция нулевой степени.

Однородное уравнение при помощи подстановки у=ux, где u(x) – новая неизвестная функция, преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Можно также принять подстановку x=uy.

2. Уравнение вида

приводится к однородному с помощью замены переменных х и у по формулам х=х0+, у=у0+, где  – новые переменные, х00 – решение системы уравнений

3.Некоторые уравнения можно привести к однородным заменой y=za Число  обычно заранее неизвестно. Чтобы его найти, надо в уравнении сделать замену y=za. Требуя, чтобы уравнение было однородным, найдем число , если это возможно. Если же этого сделать нельзя, то уравнение не приводится к однородному этим способом.

B. Задачи и упражнения для самостоятельного решения.

 


10.(x+y-2)dx+(x-y+4)dy=0.

11. (x+y)dx+(x-y-2)dy=0.

12. 2x+3y-5+(3x+2y-5)y'=0.

13. 2xy'(x-y2)+y3=0.

14. 4y6+x3=6xy5y'.

15.

16. (x+y3)dx+3(y3-x)y2dy=0.

18.Найти кривую, обладающую тем свойством, что величина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную, равна абсциссе точки касания.

19.Определить кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого касательной на оси Оу, к радиусу-вектору равно постоянной величине.

20.Найти кривую, для которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной к какой-нибудь точке кривой, равна расстоянию до этой точки от начала координат.

 

С. Примеры решения задач.

10.Решить уравнение xdy=(x+y)dx.

Решение. Это уравнение однородное. Полагаем y=ux. Тогда dy=udx+xdu. Подставляя в уравнение, получим

x(xdu+udx)=(x+ux)dx; xdu=dx.







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 1115. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Краткая психологическая характеристика возрастных периодов.Первый критический период развития ребенка — период новорожденности Психоаналитики говорят, что это первая травма, которую переживает ребенок, и она настолько сильна, что вся последую­щая жизнь проходит под знаком этой травмы...

РЕВМАТИЧЕСКИЕ БОЛЕЗНИ Ревматические болезни(или диффузные болезни соединительно ткани(ДБСТ))— это группа заболеваний, характеризующихся первичным системным поражением соединительной ткани в связи с нарушением иммунного гомеостаза...

Решение Постоянные издержки (FC) не зависят от изменения объёма производства, существуют постоянно...

ИГРЫ НА ТАКТИЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ Методические рекомендации по проведению игр на тактильное взаимодействие...

Реформы П.А.Столыпина Сегодня уже никто не сомневается в том, что экономическая политика П...

Виды нарушений опорно-двигательного аппарата у детей В общеупотребительном значении нарушение опорно-двигательного аппарата (ОДА) идентифицируется с нарушениями двигательных функций и определенными органическими поражениями (дефектами)...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия