Уравнения с разделяющимися переменными

А. Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделенными переменными.

Уравнение вида

,

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от у, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Путем деления на произведение оно приводится к уравнению с разделенными переменными:

.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

.

Дифференциальное уравнение вида

,

где a, b и с – постоянные, заменой переменных преобразуются в уравнение с разделяющимися переменными.

.

В. Задачи и упражнения для самостоятельного решения.

Решить дифференциальные уравнения:

Решить дифференциальные уравнения, используя замену переменных.

 

Найдите кривую, проходящую через точку (0,2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке был равен ординате этой точки, увеличенной в три раза.

Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная .

Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника, построенного как в предыдущей задаче, есть величина постоянная, равная .

Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньше абсциссы точки касания.

Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок оси абсцисс, отсекаемый касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равен .

 

С. Примеры решения задач.

1₀. Решить уравнение .

Решение. Представим данное уравнение в виде

.

Разделив обе части этого уравнения на , получим уравнение с разделенными переменными

.

Интегрируя это уравнение, находим

.

Отсюда .

2₀. Найти частное решение уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию

Решение. Перепишем уравнение в виде

Отсюда

Таким образом,

Из условия находим 1-ln2=C, т.е. С=1-ln2.

Искомое решение определяется в неявном виде:

,

или

.

3₀. Решить уравнение

.

Решение. Замена x-y-1=z приводит это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Функции z=2kp, k_Z являются решениями последнего уравнения. Остальные решения удовлетворяют соотношению

.

Отсюда

,

.

Таким образом, .

Окончательно ,

.

4₀. Кривая y=j(x) проходит через точку (0,1) и обладает тем свойством, что в каждой ее точке тангенс угла наклона касательной к этой кривой равен удвоенному произведению координат точки касания. Найти кривую y=j(x).

Решение. Пусть (х,у) – произвольная точка на искомой кривой. Тангенс угла наклона касательной к кривой в точке (х,у) равен производной искомой функции в точке (х,у), т.е. у^. По условию у^=2ху. Отсюда . Так как у(0)=1, то С=1 и .

 

D. Ответы.