Студопедия — Уравнения с разделяющимися переменными
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Уравнения с разделяющимися переменными






А. Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделенными переменными.

Уравнение вида

,

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от у, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Путем деления на произведение оно приводится к уравнению с разделенными переменными:

.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

.

Дифференциальное уравнение вида

,

где a, b и с – постоянные, заменой переменных преобразуются в уравнение с разделяющимися переменными.

.

В. Задачи и упражнения для самостоятельного решения.

Решить дифференциальные уравнения:

Решить дифференциальные уравнения, используя замену переменных.

 

Найдите кривую, проходящую через точку (0,2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке был равен ординате этой точки, увеличенной в три раза.

Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная .

Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника, построенного как в предыдущей задаче, есть величина постоянная, равная .

Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньше абсциссы точки касания.

Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок оси абсцисс, отсекаемый касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равен .

 

С. Примеры решения задач.

10. Решить уравнение .

Решение. Представим данное уравнение в виде

.

Разделив обе части этого уравнения на , получим уравнение с разделенными переменными

.

Интегрируя это уравнение, находим

.

Отсюда .

20. Найти частное решение уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию

Решение. Перепишем уравнение в виде

Отсюда

Таким образом,

Из условия находим 1-ln2=C, т.е. С=1-ln2.

Искомое решение определяется в неявном виде:

,

или

.

30. Решить уравнение

.

Решение. Замена x-y-1=z приводит это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Функции z=2kp, k_Z являются решениями последнего уравнения. Остальные решения удовлетворяют соотношению

.

Отсюда

,

.

Таким образом, .

Окончательно ,

.

40. Кривая y=j(x) проходит через точку (0,1) и обладает тем свойством, что в каждой ее точке тангенс угла наклона касательной к этой кривой равен удвоенному произведению координат точки касания. Найти кривую y=j(x).

Решение. Пусть (х,у) – произвольная точка на искомой кривой. Тангенс угла наклона касательной к кривой в точке (х,у) равен производной искомой функции в точке (х,у), т.е. у^. По условию у^=2ху. Отсюда . Так как у(0)=1, то С=1 и .

 

D. Ответы.

 







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 1632. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Кран машиниста усл. № 394 – назначение и устройство Кран машиниста условный номер 394 предназначен для управления тормозами поезда...

Приложение Г: Особенности заполнение справки формы ву-45   После выполнения полного опробования тормозов, а так же после сокращенного, если предварительно на станции было произведено полное опробование тормозов состава от стационарной установки с автоматической регистрацией параметров или без...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Ученые, внесшие большой вклад в развитие науки биологии Краткая история развития биологии. Чарльз Дарвин (1809 -1882)- основной труд « О происхождении видов путем естественного отбора или Сохранение благоприятствующих пород в борьбе за жизнь»...

Этапы трансляции и их характеристика Трансляция (от лат. translatio — перевод) — процесс синтеза белка из аминокислот на матрице информационной (матричной) РНК (иРНК...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия