Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов
Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:
Произведение двух степенных рядов выражается формулой:
Коэффициенты сi находятся по формуле:
Деление двух степенных рядов выражается формулой:
Для определения коэффициентов qn рассматриваем произведение
Разложение функций в степенные ряды.
Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции. Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.
Пример. Разложить в ряд функцию Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:
1 – x 1 + x + x2 + x3 + … x x – x2 x2 x2 – x3 x3 ……….
|
, полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений:
.
1 1 - x
