Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Пример 2-4 Комбинированные преобразования на плоскости





Рассмотрим треугольник ABC на рис. 2-10. Выполним над ним два преобра
зования: поворот на +90° вокруг точки начала координат

и отражение относительно линии у = - х

Результатом воздействия комбинированного преобразования [ Т 3] = [ T 1][ T 2]

на треугольник ABC является

или

Получившийся треугольник является конечным результатом данного преобразования, а треугольник А'В'С' —промежуточным результатом (рис. 2-10).

Проведем преобразование в обратном порядке

или

Конечным результатом будет треугольник D Е F , а промежуточным D'E'F' (рис. 2-10). Оба результата различны, тем самым снова подтверждается важность порядка применения преобразований. Отметим также, что для определителей справедливы равенства det [ Т 3] = - 1, и det [ Т 4]= - 1 и поэтому оба результата могут быть получены с помощью единственного отражения. Треугольник А В С можно получить из ABC путем отражения относительно оси Y (матрица [ Т 3] и уравнение (2-34)), D E F получается из ABC при отражении относительно оси X (матрица [ Т 4]и уравнение (2-33)).

2-13 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЕДИНИЧНОГО КВАДРАТА

До сих пор мы рассматривали поведение точек и линий для определения результатов простых матричных преобразований. Однако можно корректно рассматривать применение матрицы к любой точке плоскости. Как было показано ранее, единственная точка, остающаяся инвариантной при воздействии матричных преобразований, это точка начала координат. Все другие точки плоскости подвержены преобразованию, которое можно представить как растяжение исходной плоскости, системы координат и перевод в новую форму. Формально принято считать, что преобразование вызывает переход от одного координатного пространства к другому.

Рассмотрим координатную сетку, состоящую из единичных квадратов на координатной плоскости ху (рис. 2-11). Четыре координатных вектора вершин единичного квадрата, проходящие под одним углом к началу координат, имеют следующий вид:

Такой единичный квадрат изображен на рис. 2-11а. Применяя к нему (2 х 2)-матрицу общего преобразования, получаем

(2-38)

Результаты этого преобразования показаны на рис. 2-11 b. Из выражения (2-38) следует, что начало координат не подвергается преобразованию, т.е. [ А ]= [ А ]= [0 0]. Далее отметим, что координаты В равны первой строке матрицы преобразования, а координаты D —второй. Таким образом, матрица преобразования является определенной, если определены координаты В и D (преобразование единичных векторов [1 0], [0 1]). Поскольку стороны единичного квадрата первоначально параллельны и ранее было показано, что параллельные линии преобразуются снова в параллельные, то результирующая фигура является параллелограммом.

Влияние элементов а, b, с и d матрицы 2x2 может быть установлено отдельно. Элементы b и c, как видно из рис. 2-11 b, вызывают сдвиг (см. разд. 2-4) исходного квадрата в направлениях у и х соответственно. Как отмечалось ранее, элементы a и d играют роль масштабных множителей. Таким образом, 2 х 2-матрица задает комбинацию сдвига и масштабирования.

Несложно определить также площадь параллелограмма A B C D из рис. 2-11 b, которую можно вычислить следующим образом:

В результатеполучаем

(2-39)

Можно показать, что площадь любого параллелограмма AP образованногопутем преобразования квадрата, есть функцияот определителя матрицы преобразования и связана с площадью исходного квадрата A S простым отношением

(2-40)

Фактически, так как площадь всей фигуры равна сумме площадей единичныхквадратов, то площадь любой преобразованной фигуры At зависит от площади исходной фигуры Ai

(2-41)

Это полезный способ определения площадей произвольных фигур.







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 469. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Лечебно-охранительный режим, его элементы и значение.   Терапевтическое воздействие на пациента подразумевает не только использование всех видов лечения, но и применение лечебно-охранительного режима – соблюдение условий поведения, способствующих выздоровлению...

Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения. 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью...

Условия приобретения статуса индивидуального предпринимателя. В соответствии с п. 1 ст. 23 ГК РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя. Каковы же условия такой регистрации и...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия