Пример 2-7 Отражение относительно произвольной прямой

Рассмотрим прямую L и треугольник ABC (рис. 2-13а). Уравнение прямой L имеет вид .

Координатные векторы [2 4 1], [4 6 1] и [2 6 1] задают вершины треугольника ABC.

Прямая L пройдет через начало координат при перемещении ее на -2 единицы в направлении оси у. В результате этого при повороте вокруг начала координат на - tg^-1(l/2) = -26.57° прямая совпадет с осью х. Выражение (2-33) используется для отражения треугольника относительно оси х, затем преобразованные координатные векторы треугольника поворачиваются и перемещаются к исходной ориентации. Комбинация преобразований будет иметь вид

и конкретно для координатных ве
кторов треугольника А В С имеем

(рис. 2-13 a). Рис. 2-13 b, c, d, e иллюстрируют различные этапы данного преобразования.

2-18 ПРОЕЦИРОВАНИЕ-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОДНОРОДНЫХ КООРДИНАТ

Матрицу преобразования размером 3x3 для двумерных однородных координат можно разбить на четыре части

(2-54)

Напомним, что а, b, c и d — коэффициенты масштабирования, вращения, отражения и сдвига соответственно. Элементы т и п задают перемещение. В двух предыдущих разделах коэффициенты имели значения p = q = 0 и s = 1. Установим величины р и q не равными 0. Какой эффект мы получим? В данном случае полезно рассмотреть геометрическую интерпретацию.

При p = q = 0 и s = 1 однородные координаты преобразованных векторов всегда равны h = 1. Геометрически данный результат интерпретируется как ограничение преобразования физической плоскостью h = 1.

Для иллюстрации эффекта преобразования при p и q отличных от нуля, рассмотрим следующее выражение:

(2-55)

Здесь X = hx, Y = hy и h = рх + qy +1. Преобразованный координатный вектор, выраженный в однородных координатах, лежит теперь в трехмерном пространстве, определенном как h = px + qy + 1. Это преобразование показано на рис. 2-14, где отрезок АВ, принадлежащий физической плоскости h = 1, преобразуется в CD со значением h 1, т. е. рХ + qY - h + 1 = 0.

Однако представляют интерес результаты, принадлежащие физической плоскости с h = 1, которые можно получить путем геометрического проецирования прямой CD с плоскости h 1 обратно на плоскость h = 1 с использованием для этого проецирующих лучей, проходящих через начало координат. Из рис. 2-14, используя правило подобия треугольников, получим

или в однородных координатах

После этого, нормализуя выражение (2-55) делением однородных координат на величину h, получаем

(2-56)

или

(2-57a)

(2-57b)

Детально действие преобразования рассмотрим на следующем примере.