Трехмерные преобразования

3-1 ВВЕДЕНИЕ

В трехмерном пространстве также можно ввести однородные координаты так, что точке будет соответствовать бесконечное множество точек четырехмерного пространства, где h-любое ненулевое число. Мы рассмотрим некоторые элементарные преобразования в трехмерном пространстве и выпишем соответствующие им матрицы преобразований.

3-2 ПОВОРОТЫ ВОКРУГ ОСЕЙ

В отличие от двумерного случая в трехмерном имеется три основных поворота – вокруг оси X, вокруг оси Y и вокруг оси Z. Вращение пространства вокруг оси Z на угол против часовой стрелки (если смотреть с конца вектора Z) соответствует повороту в плоскости XY. При этом координата z не меняется, поэтому матрица такого вращения имеет вид

. (3-1)

Вращение против часовой стрелки вокруг оси X на угол соответствует повороту в плоскости YZ. То есть это вращение полностью аналогично предыдущему с точностью до переименования осей . Поэтому, переставляя соответствующим образом (а именно, ) строки и столбцы матрицы (3-1), получим матрицу:

. (3-2)

Аналогично, матрица поворота вокруг оси Y на угол y против часовой стрелки получается из матрицы (3-1) следующей перестановкой строк и столбцов: . В результате получаем матрицу

. (3-3)

3-3 РАСТЯЖЕНИЕ ВДОЛЬ ОСЕЙ

Растяжение (сжатие) вдоль осей X, Y, Z с коэффициентами соответственно a, b, c > 0 осуществляется с помощью матрицы следующего вида

. (3-4)

3-4 ОТРАЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ

При отражении, например, относительно плоскости XY координаты x и y не изменяются, а координата z меняет знак. Аналогичная ситуация при отражении относительно других плоскостей: YZ и ZX. Поэтому соответствующие матрицы будут иметь вид:

3-5 Перенос (сдвиг)

Матрица переноса (сдвига) пространства на вектор d = (d₁, d₂, d₃) имеет вид

. (3-5)