Основы моделирования спроса и потребления

Основным понятием теории потребления является функция полезности U(x,у). Эта функция выражает меру полезности на­бора (х,у), где х – количество товара X, а у – количество товара Y. Чувствительность набора (х,у) к незначительному изменению х при фиксированном у называется предельной полезностью х и определяется как частная производная U'_х. Аналогично предельная полезность у определяется как U'_у. Чаще всего линии уровня функции полезности (их еще называют кривыми безразличия) являются графиками убывающих функций. Поэтому мы будем считать, что для точек А(х ₀, у ₀ ) и В(х ₀ + D х, у ₀ + D у), расположенных на одной линии уровня приращения, D х >0, а D у < 0. (рис. 1.1.1).

В этом случае гово­рят, что D х единиц первого товара замещается на (– D у) единиц второго товара (имеется в виду переход из точки В в точку А).

Предельной нормой замещения х на у в точке А называется предел отношения (– D у) /D х, когда точка В стремится к А, оставаясь на одной с А линии уровня функции U (x, у). Предельная норма замещения обозначается MRS_ху или MRS_ху(А), если необходимо явно указать ее зависимость от точки А.

Предельная норма замещения одного товара дру­гим равна отношению их предельных полезностей.

(1.1.1)

Пример 1.1.1. Найти предельную норму замещения х на у для функции полезности U(x,y) = ln х + ln y в точках: а) (3;12), б) (2;1).

Решение. а) По формуле (1.1.1) получаем

поэтому MRS_ху (3; 12) = 4.

б). Аналогично находим MRS_ху (2; 1) = 0,5.

В теории потребительского спроса на два блага х и у (к примеру, исследуемое х и все остальные у) предпочтения потребителя описываются функцией полезности U(x, y), a бюджетное ограничение (расходы потребителя не более его дохода) в случае, когда потребитель тра­тит весь свой доход на рассматриваемые блага: хр_х+ ур_у = I, где I – доход потребителя, а р_х и р_у – цены благ х и у соответственно. Для того, чтобы построить графики этих неявно заданных функций у (х) в системе координат, где по оси абсцисс отложена величина блага х, а по оси ординат – у, нужно выразить в явном виде величину у как функцию от х для обеих зависимостей. Сделаем это для простейшей функции полезности U(x, y)= xy. Для уровня полезности (благосостояния) U₀ и дохода I получаем следующие функции:

Графиком первой из этих функций (она называется кривой безразличия, т.к. показывает все пары (х, у), дающие одинаковое значение функции полезности) является гипербола, а графиком второй (бюджетного ограничения) – прямая линия, имеющая отрицательный наклон, равный по абсолютной величине относительной цене блага х и точку пересечения с осью ординат I/ р_у, соответствующую количеству блага у, которое можно приобрести по цене р_у, если потратить на него весь доход I (построить график самостоятельно).

Другим примером функций в экономике служат функции спроса и предложения p (q), выражающие связь цены блага и величины спроса или предложения блага при постоянных вкусах потребителей, ценах на другие блага и других параметрах. Пример графика функции спроса и функции предложения приводится на рис. 1.1.2. График функции предложения, в отличие от функции спроса, отражает положительную связь переменных (D(q) – связь цены блага и величины спроса, S(q) – предложения).

р

q

Рис. 1.1.2

В модели потребительского спроса используются также функ­ции Торнквиста, моделирующие связь между величиной дохода I и величиной спроса потребителей х на:

а) малоценные товары

б) товары первой необходимости

в) товары второй необходимости

г) предметы роскоши

Соответствующие им графи­ки приведены на рис. 1.1.3.

Рис. 1.1.3