Перекрестные коэффициенты эластичности
В 1.1.2 было введено понятие эластичности функции одной переменной. Аналогично вводится понятие эластичности функции нескольких переменных. Пусть, например, z =f(x, у) – функция двух переменных. Еzx –коэффициент эластичности z по х показывает, на сколько процентов изменится z при увеличении х на один процент. Еzу – коэффициент эластичности z по у показывает, на сколько процентов изменится z при увеличении y на один процент. Из определения вытекают следующие формулы:
Пример 1.1.2. Найти коэффициенты эластичности по х и по у функции z= xy в точке (2;3). Согласно формулам (1.1.2) имеем Еzx (х, у) = x (ln z)' x = x (y ln x)' x= у, Ezy (x, y) = y (ln z)' y = y (y ln x)' y = у ln х. Следовательно, Еzx (2,3) =3, Еzy (2;3) = 3ln 2. Формулы (1.1.2) полностью аналогичны формулам, которые использовались при выводе свойств 1 – 3 эластичности в 1.1.2. Поэтому первые три свойства эластичности справедливы и в случае функции нескольких переменных. Четвертое и пятое свойства также сохраняются, но формы их записи становятся сложнее. Остановимся подробнее на этих свойствах. Свойство 4 '. Для функций z = f (x, у), х = j (t) и у = y (t) эластичность z no t в точке t 0 находится по формуле Еzt = ЕzxЕxt + ЕzyЕyt, (1.1.3) где Еzx, Еzy – эластичности z по х и у в точке (j (t 0), y (t 0)), а Еxt, Еyt – эластичности х и у по t в точке t 0. Для любой пары функций у 1= f 1(х 1, х 2 ), y 2 =f 2 (x 1, x 2 ) имеем 4 коэффициента эластичности, которые запишем в матрицу размера 2х2:
Элементы этой матрицы, расположенные вне главной диагонали, называются перекрестными коэффициентами эластичности. Свойство 5'. Пусть х 1= g 1(y 1, y 2), x 2= g 2(y 1, y 2) – пара обратных функций для функций у 1= f 1(х 1, х 2 ), y 2 =f 2 (x 1, x 2 ). Тогда матрица коэффициентов эластичности Еxy является обратной к матрице Еyx. Коэффициенты эластичности используются при анализе функций спроса при любом числе различных товаров. В качестве примера рассмотрим случай с двумя товарами. Пусть хi – количество i -го товара, рi – его цена (i = 1,2). Для пары дополняющих товаров (например, чай и сахар) или заменяющих товаров (например, масло и маргарин) естественно считать, что спрос на каждый товар зависит от обеих цен р 1 и р 2: х 1= D 1(p 1, p 2), x 2= D 2(p 1, p 2) (1.1.4) Предположим, что не только цены определяют спрос, но и, напротив, спрос определяет цены. Иными словами, будем считать, что систему (1.2.4) можно разрешить относительно р 1 и р 2 в следующем виде: p 1= p 1(х 1, х 2), p 2 =p 2 (x 1, x 2). (1.1.5) Системы (1.1.4) и (1.1.5) определяют две пары взаимно обратных функций. Согласно свойству 5' матрица коэффициентов эластичности цен по спросу может быть найдена как обратная матрица коэффициентов эластичности спроса по цене. Пример 1.1.3. Пусть х 1=10 p 1-1.2 p 20.8, x 2=12 p 1-0.9 p 2-0.7. (x 1 – маргарин, x 2 – масло). Коэффициенты эластичности составят матрицу
Спрос на маргарин неэластичный, на масло – эластичный, перекрестные коэффициенты эластичности показывают, что маргарин заменяет масло – повышение цены на масло на 1% ведет к повышению спроса на маргарин на 0.8%. Чтобы получить коэффициенты эластичности цены по спросу Еху,достаточно найти обратную матрицу Еуx -1.
|
(1.1.2)
