Производственные функции
Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рассматривается как «черный ящик», на вход которого поступают ресурсы R 1,..., Rn, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Х1,..., Хm. В качестве ресурсов (факторов производства) на макроуровне наиболее часто рассматриваются накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата – валовой выпуск Х (либо валовой внутренний продукт Y, либо национальный доход N). Во всех случаях результат коротко будем называть выпуском и обозначать X, хотя это может быть и валовой выпуск, и ВВП, и национальный доход. Остановимся несколько подробнее на обосновании состава фактора К. Накопленный прошлый труд проявляется в основных и оборотных, производственных и непроизводственных фондах. Выбор того или иного состава K определяется целью исследования, а также характером развития производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизводственная сфера оказывает на производство примерно одинаковое влияние, это служит основанием напрямую учитывать в ПФ только производственные фонды. Но производственные фонды состоят из основных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этими составными частями производственных фондов примерно постоянное в течение всего изучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды. Если изучаемый период достаточно продолжителен и однороден по влиянию на производство указанных выше составных частей, следует испробовать все варианты включения их в модель (от всех вместе до какого-то одного из них). Чтобы не вдаваться в детали, далее будем К называть фондами. Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ Х= F(K, L), т.е. выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда). Производственная функция Х=F(K,L) называется неоклассической, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации: 1) F( 0, L) = F(K, 0) = 0 - при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно; 2) - с ростом ресурсов выпуск растет; 3) - с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется; 4) F (+¥, L) = F(K, +¥) = +¥ - при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет. Мультипликативная ПФ задается выражением
a 1>0, a 2>0, где А – коэффициент нейтрального технического прогресса; а 1, a 2 – коэффициенты эластичности по капиталу и труду. Таким образом, мультипликативная ПФ обладает свойством 1, адекватным реальной экономике: при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно. Частным случаем этой функции служит функция Кобба-Дугласа
Мультипликативная ПФ определяется по временному ряду выпусков и затрат ресурсов (Хt, Кt, Lt,), t= 1,..., Т, где T – длина временного ряда, при этом предполагается, что имеет место Т соотношений где dt — корректировочный случайный коэффициент, который приводит в соответствие фактический и расчетный выпуск и отражает флюктуацию результата под воздействием других факторов, Мdt = 1. Поскольку в логарифмах эта функция линейна: ln Хt = ln A + atln Kt+ a2ln Lt + et, где et = ln dt, Мet= 0, получаем модель линейной множественной регрессии. Параметры функции А, a 1, a 2 определяются методами корреляционно-регрессионного анализа, рассматриваемого в дисциплине «Эконометрика». В качестве примера приведем мультипликативную функцию валового выпуска Российской Федерации (млрд. руб.) в зависимости от стоимости основных производственных фондов (млрд. руб.) и числа занятых в народном хозяйстве (млн. чел.) по данным за 1960-1994 гг. (все стоимостные показатели даны в сопоставимых ценах для этого периода): X=0,931K0,539L0,594 Мультипликативная функция обладает также свойством 2, адекватным реальной экономике: с ростом затрат ресурсов выпуск увеличивается, т.е.
так как a 1 >0.
так как a 2>0. Частные производные выпуска по факторам называются предельными продуктами или предельными (маржинальными) эффективностямифакторов и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора:
Для мультипликативной функции вытекает, что предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче
Из чего вытекает, что при а 1 < 1, a 2 < 1 предельные отдачи факторов меньше средних; при этих же условиях мультипликативная функции обладает свойством 3, которое очень часто наблюдается в реальной экономике: с ростом затрат ресурса его предельная отдача падает, т.е.
Из Перейдем теперь к экономической интерпретации параметров А, а 1, а 2 мультипликативной ПФ. Параметр А обычно интерпретируется как параметр нейтрального технического прогресса: при тех же а 1, а 2 выпуск в точке (К, L) тем больше, чем больше А. Для интерпретации а 1, а 2 необходимо вспомнить понятиеэластичности, рассмотренное в 1.1.2. Получаем а 1 – эластичность выпуска по основным фондам, а a 2 – эластичность выпуска по труду. Например, согласно ПФ X=0,931K0,539L0,594 при увеличении основных фондов (ОФ) на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличении занятых на 1% – на 0,594%. Если а 1 > a 2 имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае – фондосберегающчй (экстенсивный) рост. Рассмотрим темп роста выпуска
Если возвести обе части уравнения в степень
в котором справа – взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат ресурсов, при этом в качестве весов выступают относительные эластичности факторов
При а 1+ а 2 > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы, а при а 1+ а 2 < 1 – медленнее. В самом деле, если факторы растут (т.е. Kt+1>Kt, Lt+1>Lt) то согласно
т.е. действительно, темп роста выпуска больше среднего темпа роста факторов. Таким образом, при а 1+ а 2 >1 ПФ описывает растущую экономику. Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F(K, L)=Х0= const. Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид:
т.е. является степенной гиперболой, асимптотами которой служат оси координат. Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению X0, что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости ресурсов. Поскольку на изокванте F(K, L) = Х0 = const, то
В этом соотношении Поэтому естественно следующее определение, вытекающее из Предельной нормой замены SK труда фондами называется отношение модулей дифференциалов ОФ и труда:
соответственно, предельная норма замены SL фондов трудом
Для мультипликативной функции норма замещения труда фондами пропорциональна фондовооруженности:
что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать его лучшей фондовооруженностью. Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изоклинали ортогональны линиям нулевого роста, т.е. изоквантам. Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке (К, L) задается градиентом grad В частности, для мультипликативной ПФ получаем,
поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением
где (L0; К0) – координаты точки, через которую проходит изоклиналь. Наиболее простая изоклиналь при а = 0 представляет собой прямую
На рис. 1.1.4 изображены изокванты и изоклинали мультипликативной ПФ. Рис. 1.1.4 При изучении факторов роста экономики выделяют экстенсивные факторы роста (за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштаба производства) и интенсивные факторы роста (за счет повышения эффективности использования ресурсов). Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффективность производства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения настоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безразмерным) показателям. В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом:
т.е. X0, K0 L0 — значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год. Безразмерная форма, указанная выше, легко приводится к первоначальному виду
Таким образом, коэффициент запишется так:
Найдем теперь эффективность экономики, представленной ПФ. Напомним, что эффективность – это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов k и настоящего труда l. Поэтому имеются два частных показателя эффективности: Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Так как ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометрическое значение. Итак, обобщенный показатель экономической эффективности есть взвешенное среднее геометрическое частных показателей экономической эффективности:
в котором роль весов выполняют относительные эластичности Из х=Eka l1-a, где Е – не постоянный коэффициент, а функция от (К, L). Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затраченных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены при расчете обобщенного показателя экономической эффективности, средний размер использованных ресурсов (т.е. масштаб производства) M=kal1-a. В результате получаем, что выпуск Х есть произведение экономической эффективности и масштаба производства: Х=ЕМ. Линейная производственная функция X=F(K,L)=EKK+ELL, где EK и EL частные эффективности ресурсов. EK = Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Пример 1.1.5. Валовой внутренний продукт США (Х), измеренный в млрд. долл. в ценах 1987г. возрос с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза, основные производственные фонды за этот же период (К) увеличились в 2,88 раза, число занятых (L) – в 1,93 раза. Пусть X=2,248K0,404L0,803. Необходимо рассчитать масштаб и эффективность производства. Решение. Из условия x = 2,82; k =2,88; l =1,93. Сначала находим относительные эластичности по фондам и труду
Затем определяем частные эффективности ресурсов
после чего находим обобщенный показатель эффективности как среднее геометрическое частных:
Масштаб устанавливаем как среднее геометрическое темпов роста ресурсов
Таким образом, общий рост ВВП с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза произошел за счет роста масштаба производства в 2,207 раза и за счет повышении эффективности производства в 1,278 раза (2,82=1,278*2,207). Приведем несколько типов производственных функций общего вида, наиболее часто используемых в экономической теории. Здесь x 1, x 2, …, x n – значения факторов, определяющих производственную деятельность предприятия. Функция Кобба-Дугласа. Функция вида:
Обычно считается, что сумма ai равна 1. Функция с постоянной эластичностью замещения. Удобная для анализа производственная функция:
где a именуется коэффициентом шкалы; b – коэффициентом замещения, u≤ 1 – коэффициент замещения; w – степень однородности. Функция Леонтьева. Данная функция носит теоретический характер и описывает совершенно не гибкую технологию производства с очень большим количеством факторов, которые не могут заменить друг друга. f (x 1, x 2, …, x n) = min (a 1 x 1, a 2 x 2, …, a n x n) Обобщенная функция Леонтьева (функция с фиксированными пропорциями). В функцию Леонтьева просто вводится степень однородности:
Линейная производственная функция. Эта функция также является теоретической абстракцией. Уже по названию функции ясно, что: f (x 1, x 2, …, x n) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a n x n. Кусочно-линейная функция. Данная функция возникает как комбинация нескольких линейных производственных функций (т.е. технологий производства), каждая из которых используется на своем интервале. И для каждой комбинации факторов производства фирма выбирает ту технологию, которая дает наибольший выпуск:
|