Пример 1. Для двух предприятий выделено a единиц средств

Для двух предприятий выделено a единиц средств. Как распределить все средства в течение 4 лет, чтобы доход был наибольшим, если известно, что доход от x единиц средств, вложенных в первое предприятие, равен f ₁(x), а доход от y единиц средств, вложенных во второе предприятие, равен f ₂(y). Остаток средств к концу года составляет g ₁(x) для первого предприятия и g ₂(y) для второго предприятия.

a= 1000, f ₁=3 х, g ₁=0,1 х; f ₂=2 у; g ₂= 0,5 y.

РЕШЕНИЕ. Процесс распределения средств разобьем на 4 этапа – по соответствующим годам.

Обозначим a_k = x_k + y_k – средства, которые распределяются на k –ом шаге как сумма средств по предприятиям.

Суммарный доход от обоих предприятий на k –ом шаге:

z_k = f ₁(x_k) + f ₂(a_k − x_k) = 3 x_k + 2(a_k − x_k) = 2 a_k + x_k .

Остаток средств от обоих предприятий на k –ом шаге:

a_{k+ 1} =g ₁(x_k)+ g ₂(a_k – x_k) =0,1 x_k + 0,5(a_k – x_k) =0,5 a_k –0,4 x_k.

Обозначим z * _k (a_k) – максимальный доход, полученный от распределения средств a_k между двумя предприятиями с k -го шага до конца рассматриваемого периода.

Рекуррентные соотношения Беллмана для этих функций

z *₄(a ₄)= a ₄+ x ₄},

z * _k (a_k)= a_k + x_k + z * _{k+ 1}(0,5 a_k – 0,4 x_k)}.

Проведем оптимизацию, начиная с четвертого шага:

Й шаг.

Оптимальный доход равен:

z *₄(a ₄ )= a ₄+ x ₄}= 3 a ₄,

т.к. линейная возрастающая функция достигает максимума в конце рассматриваемого промежутка, т.е. при x ₄= a ₄.

Й шаг.

z *₃(a ₃)= a ₃+ x ₃ + 3(0,5 a ₃– 0,4 x ₃)}= a ₃– 0,2 x ₃)}= a ₃

т.к. линейная убывающая функция достигает максимума в начале рассматриваемого промежутка, т.е. при x ₃= 0.

Й шаг.

z *₂(a ₂)= a ₂+ x ₂ + 3.5(0,5 a ₂– 0,4 x ₂)}= a ₂– 0,4 x ₂)}= a _2,

т.к. линейная убывающая функция достигает максимума в начале рассматриваемого промежутка, т.е. при x ₂=0.

Й шаг.

z *₁(a ₁)= a ₁+ x ₁ + 3.75(0,5 a ₁– 0,4 x ₁)}= a ₁– 0,5 x ₁)}= a _1,

т.к. линейная убывающая функция достигает максимума в начале рассматриваемого промежутка, т.е. при x ₁=0.

Результаты оптимизации:

z *₁(a ₁)= 3,875 a ₁, x *₁ =0,

z *₂(a ₁)= 3,75 a ₂, x *₂ =0,

z *₃(a ₃)= 3,5 a ₃, x *₃ =0,

z *₄(a ₄)= 3 a ₄, x *₄ = a _4.

Определим количественное распределение средств по годам:

Т.к. a ₁= a =1000, x *₁=0, получаем a ₂=0.5 a ₁– 0.41 x *₁=500. Далее аналогично:

x *₂=0, a ₃= 0.5 a ₂–0.4 x *₂=250,

x *₃=0, a ₄= 0.5 a ₃−0.4 x *₃=125,

x *₄= a ₄=125.

Представим распределение средств в виде таблицы:

предприятие	год

При таком распределении средств за 4 года будет получен доход, равный

z *₁(a ₁)= 3,875 ·1000= 3875.