Краткая теория

1 семестр

1. Контрольная работа по теме «Функция действительного переменного» (вес «1,5»).

2. Домашнее задание по теме «Основные свойства функций действительного переменного. Предел и непрерывность функций действительного переменного» (вес «1»).

3. Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление функций действительного переменного. Исследование функций при помощи производной» (вес «1,5»).

2 семестр

4. Домашнее задание по теме «Функции многих переменных» (вес «1,0»).

5. Домашнее задание по теме «Неопределенные интегралы. Определенные и несобственные интегралы» (вес «1,0»).

6. Контрольная работа по теме «Ряды» (вес «2,0»).

Цель работы.

Изучение колебательных движений маятников. Измерение ускорения свободного падения.

Оборудование.

1. Универсальный маятник FPM-04

Темы для изучения.

В лабораторной работе рассмотрены основные понятия и законы, на которых основан принцип действия математического и оборотного маятников, получена рабочая формула для определения ускорения си­лы тяжести при помощи математического и оборотного маятников, проведено описание экспериментальной установки и порядка работы на ней.

Лабораторная работа предназначена для студентов, выполняющих общий физический практикум в лаборатории механики кафедры экспе­риментальной физики ТГУ.

Краткая теория.

Ускорение свободного падения относительно Земли в разных точках земного шара различно. Это обусловлено неинерциальностью системы отсчета, связанной с Землей, и изменением силы гравитационного вза­имодействия рассматриваемого тела с Землей в различных ее точках.

Поэтому измерение ускорения свободного падения в различных точках Земли с одной стороны дает указания о форме Земли, а с дру­гой стороны позволяет обнаруживать различные местные неоднороднос­ти в строении земного шара.

Одним из методов достаточно точного определения ускорения сво­бодного падения является исследование колебательного движения маят­ников.

В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебательное движение относительно непод­вижной оси. Различают математический и физический маятники.

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити (рис.1).

Физическим маятником называют твердое те­ло, закрепленное на горизонтальной оси, проходящей через точку О расположенную выше его центра тяжести С (рис. 2).

 

Рассмотрим динамику движения этих маятников.

При отклонении маятников на угол из

положения равновесия возникает вращательный момент относительно точки О. В дан­ном случае на тело действуют только моменты силы тяжести, так как момент силы реакции оси равен нулю. Известно, что сумма моментов сил тяжести равна моменту равнодействующей силы , при усло­вии, что она приложена к центру тяжести, В однородном поле центр тяже­сти совпадает с центром масс тела.

 

По определению момент силы относительно точки O: , где - радиус-вектор точки приложены силы относительно точки О.

Уравнением движения тела, закрепленного на неподвижной оси, явля­ется основное уравнение динамики вращательного движения, имеющее вид:

(1)

где ℐ; - момент инерции тела относительно оси; - угловое ускорение..

Под вектором угла понимается вектор, по модулю равный и направленный вдоль оси вращения таким образом, чтобы с его начала

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ОБОРОТНОГО МАЯТНИКОВ

 

поворот наблюдался происходящим по часовой стрелке.

По определению векторного произведения момент силы тяжести будет в данном случае направлен противоположно направлению .

Для решения дифференциального уравнения (1) перейдем от век­торной формы к скалярной. Рассмотрим проекции векторов и на ось координат, совпадающую с осью вращения и направленную по

Составляющая момента силы относительно точки О вдоль оси, проходящей через эту точку, называется моментом силы относительно оси.

Вектор можно записать следующим образом:

, где - единичный вектор, направленный вдоль , а , тогда угловое ускорение , так как направление вектора не меняется со временем.

Таким образом, уравнение (1) в проекции на выбранную коорди­натную ось запишется:

(2)

Поскольку , где .
Знак (-)_, как уже говорилось, учитывает то обстоятельство, что направлен противоположно . •

Если ограничиться случаем малых отклонений из положения рав­новесия, то можно считать .

Уравнение (2) при этом переходит в уравнение:

(3)

или

(4)

Поделив обе части уравнения (4) на ℐ, подучим уравнение, опи­сывающее гармонические колебания:

(5)

Общим решением уравнения (5) будет функция вида:

(6) (б)

где A и ∝; - произвольные постоянные, определяемые на началь­ных условий, a

- циклическая частота колебаний.

Поскольку период колебаний и циклическая частота связаны со­отношением можем определить период рассматриваемых гармонических колебаний:

(7)

 

Из (7) получаем непосредственно выражение для ускорения сво­бодного падения

(8)

Таким образом, зная период колебаний маятника и его момент инерции» можно определить ускорение свободного падения. Для математического маятника момент инерции .

Следовательно, ускорение свободного падения при помощи коле­баний математического маятника можно определить по формуле:

(9)

Формула (9) является формулой для расчета ускорения свободного па­дения при колебаниях математичес­кого маятника.

Для физического маятника появляются трудности с определением момента инерции ℐ, который трудно вычислить с большой степенью точности. Поэтому для измерения g описанным способом использу­ются маятники особой конструкции, которые позволяют либо легко вы­числять момент инерция, либо исключить его из рассмотрения.

В данной работе используется так называемый оборотный маят­ник, конструкция которого позволяет исключить момент инерции на рассмотрения.