Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из универсальных и эффективных методов реше­ния линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состо­ящий в последовательном исключении неизвестных.

Напомним, две системы называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой и наоборот. Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях уравнений системы:

1) умножение обеих частей уравнения на число отличное от нуля;

2) прибавление к некоторому уравнению соответствующих частей другого уравнения, умноженных на число отличное от нуля;

3) перестановка двух уравнений.

Пусть дана система уравнений

Процесс решения этой системы по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система с помощью элементарных преобразований приводится к ступен­чатому,или треугольному виду, а на втором этапе (обратный ход) идет последовательное, начиная с последнего по номеру переменного, определение неизвестных из полученной ступенчатой системы.

Предположим, что коэффициент данной системы , в против­ном случае в системе первую строку можно поменять местами с любой другой строкой так, чтобы коэффициент при был отличен от нуля.

Преобразуем систему, исключив неизвестное во всех уравне­ниях, кроме первого. Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалент­ную систему

Здесь – новые значения коэффициентов и свободных членов, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом , исклю­чим неизвестное из всех уравнений системы, кроме первого и второго. Продолжим этот процесс, пока это возможно, в результате получим ступенчатую систему

,

где , ,…, – главные элементы системы .

Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся уравнения , т. е. равенства вида , их отбрасывают, так как им удовлетворяют любые наборы чисел . Если же при появится уравнение вида , которое не имеет решений, то это свидетельствует о несовместности системы.

При обратном ходе из последнего уравнения преобразованной сту­пенчатой системы выражается первое неизвестное через все остальные неизвестные , которые называют свободными. Затем выражение переменной из последнего уравнения системы подставляется в предпоследнее уравнение и из него выражается переменная . Аналогичным образом последовательно определяются переменные . Переменные , выраженные через свободные переменные, называются базисными (зависимыми). В результате получается общее решение системы линейных уравнений.

Чтобы найти частное решение системы, свободным неизвестным в общем решении придаются произвольные значения и вычисляются значения переменных .

Технически удобнее подвергать элементарным преобразованиям не сами уравнения системы, а расширенную матрицу системы

.

Метод Гаусса - универсальный метод, который позволяет решать не только квадратные, но и прямоугольные системы, в которых число неизвестных не равно числу уравнений .

Достоинство этого метода состоит также в том, что в процессе решения мы одновременно исследуем систему на совместность, так как, приведя расширенную матрицу к ступенчатому виду, легко определить ранги матрицы и расширенной матрицы и применить теорему Кронекера - Капелли.

Пример 2.1 Методом Гаусса решить систему

Решение. Число уравнений и число неизвестных .

Составим расширенную матрицу системы, приписав справа от матрицы коэффициентов столбец свободных членов .

Приведём матрицу к треугольному виду; для этого будем получать «0» ниже элементов, стоящих на главной диагонали с помощью элементарных преобразований.

Чтобы получить «0» во второй позиции первого столбца, умножим первую строку на (-1) и прибавим ко второй строке.

Это преобразование запишем числом (-1) против первой строки и обозначим стрелкой, идущей от первой строки ко второй строке.

Для получения «0» в третьей позиции первого столбца, умножим первую строку на (-3) и прибавим к третьей строке; покажем это действие с помощью стрелки, идущей от первой строки к третьей.

.

В полученной матрице, записанной второй в цепочке матриц, получим «0» во втором столбце в третьей позиции. Для этого умножили вторую строку на (-4) и прибавили к третьей. В полученной матрице вторую строку умножим на (-1), а третью - разделим на (-8). Все элементы этой матрицы, лежащие ниже диагональных элементов - нули.

Так как ,система является совместной и определенной.

Соответствующая последней матрице система уравнений имеет треугольный вид:

Из последнего (третьего) уравнения . Подставим во второе уравнение и получим .

Подставим и в первое уравнение, найдём .

Итак

 

Пример 2.2. Исследовать систему на совместность и в случае совместности найти решение:

Решение. Применим к данной системе метод Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы, предварительно для удобства вычислений поменяв местами вторую и первую строку. Приведем ее к ступенчатому виду.

̴ ̴ .

 

Найдем ранги матриц: . Так как ,то система является несовместной, т.е. не имеет решений.

Иначе говоря, система содержит противоречивое уравнение вида:

или , поэтому является несовместной.