Однородные системы линейных алгебраических уравнений
Линейная система называется однородной, если все ее свободные члены равны 0.
В матричном виде однородная система записывается: Однородная система (2) всегда совместна. Очевидно, что набор чисел При каких условиях однородная система (2) будет иметь ненулевые (нетривиальные) решения? Теорема 1.3 Однородная система (2) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг r ее основной матрицы Система (2) – неопределенная Следствие 1. Если число уравнений m однородной системы меньше числа переменных Следствие 2. Квадратная однородная система В противном случае, если определитель Пусть ранг системы (2) Пусть
|
(2)
.
, 
, …, 
удовлетворяет каждому уравнению системы. Решение 
называется нулевым или тривиальным решением. Таким образом, однородная система всегда имеет нулевое решение.
меньше числа неизвестных n.
.
, то система является неопределенной и имеет множество ненулевых решений.
имеет ненулевые решения тогда и тогда, когда основная матрица этой системы 
вырождена, т.е. определитель 
.
, квадратная однородная система имеет единственноенулевое решение 
т. е система (2) имеет нетривиальные решения.
и 
- частные решения этой системы, т.е. 
и 
.
