Свободные электромагнитные колебания возникают при разрядке конденсатора через катушку индуктивности. Вынужденные колебания вызываются периодической ЭДС

23. Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями

Электромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свободными механическими колебаниями, например с колебаниями тела, закрепленного на пружине (пружинный маятник). Сходство относится не к природе самих величин, которые периодически изменяются, а к процессам периодического изменения различных величин.

При механических колебаниях периодически изменяются координата тела х и проекция его скорости _x, а при электромагнитных колебаниях изменяются заряд q конденсатора и сила тока i в цепи. Одинаковый характер изменения величин (механических и электрических) объясняется тем, что имеется аналогия в условиях, при которых возникают механические и электромагнитные колебания.

Возвращение к положению равновесия тела на пружине вызывается силой упругости F_{x упр}, пропорциональной смещению тела от положения равновесия. Коэффициентом пропорциональности является жесткость пружины k.

Разрядка конденсатора (появление тока) обусловлена напряжением и между пластинами конденсатора, которое про порционально заряду q. Коэффициентом пропорциональности является величина , обратная емкости, так как u = q.

Подобно тому как, вследствие инертности, тело лишь постепенно увеличивает скорость под действием сильт и эта скорость после прекращения действия силы не становится сразу равной нулю, электрический ток в катушке за счет явления самоиндукции увеличивается под действием напряжения постепенно и не исчезает сразу, когда это напряжение становится равным нулю. Индуктивность контура L выполняет ту же роль, что и масса тела т при механических колебаниях. Соответственно кинетическая энергия тела аналогична энергии магнитного поля тока

Зарядка конденсатора от батареи аналогична сообщению телу, прикрепленному к пружине, потенциальной энергии при смещении тела на расстояние x_m от положения равновесия (рис. 4.5, а). Сравнивая это выражение c энергией конденсатора замечаем, что жесткость k пружины выполняет при механических колебаниях такую же роль, как величина , обратная емкости, при электромагнитных колебаниях. При этом начальная координата х_m соответствует заряду q_m.

Возникновение в электрической цепи тока i соответствует появлению в механической колебательной системе скорости тела _x под действием силы упругости пружины (рис. 4.5, б).

Момент времени, когда конденсатор разрядится, а сила тока достигнет максимума, аналогичен тому моменту времени, когда тело будет проходить с максимальной скоростью (рис. 4.5, в) положение равновесия.

Далее конденсатор в ходе электромагнитных колебаний начнет перезаряжаться, а тело в ходе механических колебаний — смещаться влево от положения равновесия (рис. 4.5, г). По прошествии половины периода Т конденсатор полностью перезарядится и сила тока станет равной нулю.

При механических колебаниях этому соответствует отклонение тела в крайнее левое положение, когда его скорость равна нулю (рис. 4.5, д).

Соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах можно свести в таблицу.

Электромагнитные и механические колебания имеют разную природу, но описываются одинаковыми уравнениями.

24.

Простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания, состоит из конденсатора и катушки, присоединенной к его обкладкам (рис. 4.3), и называется колебательным контуром.

Зарядим конденсатор, присоединив его на некоторое время к батарее с помощью переключателя (рис. 4.4, а). При этом конденсатор получит энергию

где q_m — заряд конденсатора, а С — его электроемкость. Между обкладками конденсатора возникнет разность потенциалов U_m.

Переведем переключатель в положение 2 (рис. 4.4, б). Конденсатор начнет разряжаться, и в цепи появится электрический ток. Сила тока не сразу достигает максимального значения, а увеличивается постепенно. Это связано с явлением самоиндукции.

ЭДС самоиндукции возникает при появлении тока в цепи и препятствует его увеличению, поэтому ток в цепи растет постепенно.

По мере разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но одновременно возрастает энергия магнитного поля тока, которая определяется формулой

где i — сила переменного тока; L — индуктивность катушки.

Полная энергия W электромагнитного поля контура равна сумме энергий его магнитного и электрического полей:



В момент, когда конденсатор полностью разрядится (q = 0), энергия электрического поля станет равной нулю. Энергия же магнитного поля тока, согласно закону сохранения энергии, будет максимальной. В этот момент сила тока также достигнет, конечно, максимального значения I_m.

Несмотря на то что к этому моменту разность потенциалов на концах катушки становится равной нулю, электрический ток не может прекратиться сразу. Этому препятствует явление самоиндукции. Как только сила тока и созданное им магнитное поле начнут уменьшаться, возникает ЭДС самоиндукции, стремящаяся поддержать ток.

В результате конденсатор будет перезаряжаться до тех пор, пока сила тока, постепенно уменьшаясь, не станет равной нулю. Энергия магнитного поля в этот момент также будет равна нулю, энергия электрического поля конденсатора опять станет максимальной.

После этого конденсатор вновь начнет перезаряжаться, и система возвратится в исходное состояние. Если бы не было потерь энергии, то этот процесс продолжался бы сколь угодно долго. Колебания были бы незатухающими. Через промежутки времени, равные периоду колебаний, состояние системы в точности повторялось бы. Полная энергия при этом сохранялась бы неизменной, и ее значение в любой момент времени было бы равно максимальной энергии электрического поля или максимальной энергии магнитного поля:

Но в действительности потери энергии неизбежны. Так, в частности, катушка и соединительные провода обладают сопротивлением R, а это ведет к постепенному превращению энергии электромагнитного поля во внутреннюю энергию проводника.

В колебательном контуре энергия электрического поля заряженного конденсатора периодически переходит в энергию магнитного поля тока. При отсутствии сопротивления в контуре полная энергия электромагнитного поля остается неизменной

25.

Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре. Рассмотрим колебательный контур, сопротивлением R которого можно пренебречь (рис. 4.6).

Уравнение, описываюндее свободные электрические колебания в контуре, можно получить с помощью закона сохранения энергии. Полная электромагнитная энергия W контура в любой момент времени равна сумме его энергий магнитного и электрического полей:

Эта энергия не меняется с течением времени, если ео противление R контура равно нулю. Значит, производная полной энергии по времени равна нулю. Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей:



Физический смысл уравнения (4.5) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак «-» указывает на то, что, когдаэнергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот).

Вычислив производные в уравнении (4.5), получим¹



Но производная заряда по времени представляет собой силу тока в данный момент времени:

Поэтому уравнение (4.6) можно переписать в следующем виде:

¹ Мы вычисляем производные по времени. Поэтому производная (і²)' равна не просто 2_і, как было бы при вычислении производной но і. Нужно 2_і умножить еще на производную i' силы тока по времени, так как вычисляется производная от сложной функции. То же самое относится к производной (q₂)'.

Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени, подобно тому как производная скорости по времени (ускорение) есть вторая производная координаты по времени. Подставив в уравнение (4.8) і' = q" и разделив левую и правую части этого уравнения на Li, получим основное уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре:



Теперь вы в полной мере можете оценить значение тех усилий, которые были затрачены для изучения колебаний шарика на пружине и математического маятника. Ведь уравнение (4.9) ничем, кроме обозначений, не отличается от уравнения (3.11), описывающего колебания шарика на пружине. При замене в уравнении (3.11) х на q, х" на q", k нa 1/C и m нa L мы в точности получим уравнение (4.9). Но уравнение (3.11) было уже решено выше. Поэтому, зная формулу, описывающую колебания пружинного маятника, мы сразу же можем записать формулу для описания электрических колебаний в контуре.

26.

Формула Томсона. В уравнении (3.11) коэффициент представляет собой квадрат собственной частоты колебаний. Поэтому и коэффициент в уравнении (4.9) также представляет собой квадрат циклической частоты — в этот раз для свободных электрических колебаний:

Период свободных колебаний в контуре, таким образом, равен:

Формула (4.11) называется формулой Томсона в честь английского физика У. Томсона (Кельвина), который ее впервые вывел.

Увеличение периода свободных колебаний с возрастанием L и С наглядно можно пояснить так. При увеличении индуктивности L ток медленнее нарастает со временем и медленнее падает до нуля. А чем больше емкость С, тем большее время требуется для перезарядки конденсатора.

Гармонические колебания заряда и тока. Подобно тому как координата при механических колебаниях (в случае, когда в начальный момент времени отклонение тела маятника от положения равновесия максимально) изменяется со временем по гармоническому закону:

х = х_m cos t,

заряд конденсатора меняется с течением времени по такому же закону:

q = q_m cos t, (4.12)

где q_m — амплитуда колебаний заряда.

Сила тока также совершает гармонические колебания:

где I_m = q_m — амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока опережают по фазе на колебания заряда (рис. 4.7).

Точно так же колебания скорости тела в случае пруте жинного или математического маятника опережают на колебания координаты (смещения) этого тела.

В действительности, из-за неизбежного наличия сопротивления электрической цепи, колебания будут затухающими. Сопротивление R также будет влиять и на период колебаний, чем больше сопротивление R, тем большим будет период колебаний. При достаточно большом сопротивлении колебания совсем не возникнут. Конденсатор разрядится, но перезарядки его не произойдет, энергия электрического имагнитного полей перейдет в тепло.

Простейшая система, где наблюдаются свободные электромагнитные колебания, — колебательный контур. Уравнение (4.9) — это основное уравнение, описывающее сво бодные электрические колебания в контуре.

27.

Свободные электромагнитные колебания в контуре быстро затухают, и поэтому они практически не используются. Напротив, незатухающие вынужденные колебания имеют огромное практическое значение.

Переменный ток в осветительной сети квартиры, применяемый па заводах и фабриках и т. д., представляет собой не что иное, как вынужденные электромагнитные колебания. Сила тока и напряжение меняются со временем по гармоническому закону.

Колебания напряжения легко обнаружить с помощью осциллографа. Если на вертикально отклоняющие пластины осциллографа подать напряжение от сети, то временная развертка на экране будет представлять собой синусоиду (рис. 4.8). Зная скорость движения луча по экрану в горизонтальном направлении (она определяется частотой пилообразного напряжения), можно вычислить частоту колебаний. Частота переменного тока — это число колебаний в 1 с.

Стандартная частота промышленного переменного тока равна 50 Гц. Это означает, что на протяжении 1 с ток 50 раз идет в одну сторону и 50 раз — в противоположную. Частота 50 Гц принята для промышленного тока во многих странах мира. В США принята частота 60 Гц.

Если напряжение на концах цепи меняется по гармоническому закону, то и напряженность электрического поля внутри проводников будет также меняться гармонически. Эти гармонические изменения напряженности поля, в свою очередь, вызывают гармонические колебания скорости упорядоченного движения заряженных частиц и, следовательно, гармонические колебания силы тока.

Но при изменении напряжения на концах цепи электрическое поле не меняется мгновенно по всей цепи. Изменения поля распространяются хотя и с очень большой, но не с бесконечно большой скоростью.

Однако, если время распространения изменений поля в цепи много меньше периода колебаний напряжения, можно считать, что электрическое поле во всей цепи сразу же меняется при изменении напряжения на концах цепи. При этом сила тока в данный момент времени будет иметь практически одно и то же значение во всех сечениях не разветвленной цепи.

Переменное напряжение в гнездах розетки осветительной сети создается генераторами на электростанциях. Проволочную рамку, вращающуюся в постоянном однородном магнитном поле, можно рассматривать как простейшую модель генератора переменного тока. Поток магнитной индукции Ф, пронизывающий проволочную рамку площадью S, пропорционален косинусу угла а между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции (рис. 4.9):

Ф = BS cos .

При равномерном вращении рамки угол а увеличивается прямо пропорционально времени:

= t,

где — угловая скорость вращения рамки. Поток магнит ной индукции меняется по гармоническому закону:

Ф = BS cos t.

Здесь величина играет уже роль циклической частоты.

Согласно закону электромагнитной индукции ЭДС индукции в рамке равна взятой со знаком «-» скорости изменения потока магнитной индукции, т. е. производной потока магнитной индукции по времени:

Если к рамке подключить колебательный контур, то угловая скорость вращения рамки определит частоту колебаний значений ЭДС, напряжения на paзличныx участках цепи и силы тока.

Мы будем изучать в дальнейшем вынужденные электрические колебания, происходящие в цепях под действием напряжения, меняющегося с циклической частотой ю по закону синуса или косинуса:

u = U_m sin t
или

u = U_m cos t, (4.14)

где U_m— амплитуда напряжения, т. е. максимальное по модулю значение напряжения.

Если напряжение меняется с циклической частотой , то и сила тока в цепи будет меняться с той же частотой. Но колебания силы тока не обязательно должны совпадать по фазе с колебаниями напряжения. Поэтому в общем случае сила тока і в любой момент времени (мгновенное значение силы тока) определяется по формуле

Здесь I_m - амплитуда силы тока, т. е. максимальное по модулю значение силы тока, а _c — разность (сдвиг) фаз между колебаниями силы тока и напряжения.

В промышленных цепях переменного тока сила тока и напряжение меняются гармонически с частотой v = 50 Гц. Переменное напряжение на концах цепи создается генераторами на электростанциях.

28.Перейдем к более детальному рассмотрению процессов, которые происходят в цепи, подключенной к источнику переменного напряжения.

Сила тока в цени с резистором. Пусть цепь состоит из соединительных проводов и нагрузки с малой индуктивностью и большим сопротивлением R (рис. 4.10). Эту величину, которую мы до сих пор называли электрическим сопротивлением или просто сопротивлением, теперь будем называть активным сопротивлением.

Сопротивление R называется активным, потому что при наличии нагрузки, обладающей этим сопротивлением, цепь поглощает энергию, поступающую от генератора. Эта энергия превращается во внутреннюю энергию проводников — они нагреваются. Будем считать, что напряжение на зажимах цепи меняется по гармоническому закону:

u = U_m cos t.

Как и в случае постоянного тока, мгновенное значение силы тока прямо пропорционально мгновенному значению напряжения. Поэтому для нахождения мгновенного значения силы тока можно применить закон Ома:

В проводнике с активным сопротивлением колебания силы тока совпадают по фазе с колебаниями напряже ния (рис. 4.11), а амплитуда силы тока определяется равенством

Мощность в цепи с резистором. В цепи переменного тока промышленной частоты (v = 50 Гц) сила тока и напряжение изменяются сравнительно быстро. Поэтому при прохождении тока по проводнику, например по нити электрической лампочки, количество выделенной энергии также будет быстро меняться со временем. Но этих быстрых изменений мы не замечаем.

Как правило, нам нужно бывает знать среднюю мощ ностъ тока на участке цепи за большой промежуток времени, включающий много периодов. Для этого достаточно найчи среднюю мощность за один период. Под средней за период, мощностью переменного тока понимают отношение суммарной энергии, поступающей в цепь за период, к периоду.

Мощность в цепи постоянного тока на участке с сопротивлением R определяется формулой

P = I²R. (4.18)

На протяжении очень малого интервала времени переменный ток можно считать практически постоянным.

Поэтому мгновенная моoность в цепи переменного тока на участке, имеющем активное сопротивление R, определяется формулой

P = i²R. (4.19)

Найдем среднее значение мощности за период. Для этого сначала преобразуем формулу (4.19), подставляя в нее выражение (4.16) для силы тока и используя известное из математики соотношение

График зависимости мгновенной мощности от времени изображен на рисунке 4.12, а. Согласно графику (рис. 4.12, б.), на протяжении одной восьмой периода, когда , мощность в любой момент времени больше, чем . Зато на протяжении следующей восьмой части периода, когда cos 2 t < 0, мощность в любой момент времени меньше чем . Среднее за период значение cos 2 t равно нулю, а значит равно нулю второе слагаемое в уравнении (4.20).

Средняя мощность равна, таким образом, первому члену в формуле (4.20):

Действующие значения силы тока и напряжения. Из формулы (4.21) видно, что величина есть среднее за период значение квадрата силы тока:



Величина, равная квадратному корню из среднего значения квадрата силы тока, называется действующим значением силы неременного тока. Действующее зртачепие силы неременного тока обозначается через I:

Действующее значение силы переменного тока равно силе такого постоянного тока, при котором в проводнике выделяется то же количество теплоты, что и при переменном токе за то же время.

Действующее значение переменного напряжения определяется аналогично действующему значению силы тока:

Заменяя в формуле (4.17) амплитудные значения силы тока и напряжения на их действующие значения, получаем

Это закон Ома для участка цепи переменного тока с резистором.

Как и при механических колебаниях, в случае электрических колебаний обычно нас не интересуют значения силы тока, напряжения и других величин в каждый момент времени. Важны общие характеристики колебаний, такие, как амплитуда, период, частота, действующие значения силы тока и напряжения, средняя мощность. Именно действующие значения силы тока и напряжения регистрируют амперметры ивольтметры переменного тока.

Кроме того, действующие значения удобнее мгновенных значений еще и потому, что именно они непосредственно определяют среднее значение мощности Р переменного тока:

P = I²R = UI.

Колебания силы тока в цепи с резистором совпадают по фазе с колебаниями напряжения, а мощность определяется действующими значениями силы тока и напряжения.

29. Постоянный ток не может идти по цепи, содержащей конденсатор. Ведь фактически при этом цепь оказывается разомкнутой, так как обкладки конденсатора разделены диэлектриком.

Переменный же ток может идти по цепи, содержащей конденсатор. В этом можно убедиться с помощью простого опыта.

Пусть у нас имеются источники постоянного и переменного напряжений, причем постоянное напряжение на зажимах источника равно действующему значению переменного напряжения. Цепь состоит из конденсатора и лампы накаливания (рис. 4.13), соединенных последовательно. При включении постоянного напряжения (переключатель повернут влево, цепь подключена к точкам АА') лампа не светится. Но при включении переменного напряжения (переключатель повернут вправо, цепь подключена к точкам ВВ') лампа загорается, если емкость конденсатора достаточно велика.

Как же переменный ток может идти по цепи, если она фактически разомкнута (между пластинами конденсатора заряды перемещаться не могут)? Все дело в том, что происходит периодическая зарядка и разрядка конденсатора под действием переменного напряжения. Ток, идущий в цепи при перезарядкеконденсатора, нагревает нить лампы.

Установим, как меняется со временем сила тока в цепи, содержащей только конденсатор, если сопротивлением проводов и обкладок конденсатора можно пренебречь (рис. 4.14).

Напряжение на конденсаторе

Сила тока, представляющая собой производную заряда по времени, равна:

Следовательно, колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на конденсаторе на (рис. 4.15).

Амплитуда силы тока равна:

I_m = U_mC . (4.29)

Если ввести обозначение



и вместо амплитуд силы тока и напряжения использовать их действующие значения, то получим

Величину X_c, обратную произведению С циклической частоты на электрическую емкость конденсатора, называют емкостным сопротивлением. Роль этой величины аналогична роли активного сопротивления R в законе Ома (см. формулу (4.17)). Действующее значение силы тока связано с действующим значением напряжения на конденсаторе точно так же, как связаны согласно закону Ома сила тока и напряжение для участка цепи постоянного тока. Это и позволяет рассматривать величину Х_с как сопротивление конденсатора переменному току (емкостное сопротивление).

Чем больше емкость конденсатора, тем больше ток перезарядки. Это легко обнаружить по увеличению накала лампы при увеличении емкости конденсатора. В то время как сопротивление конденсатора постоянному току бесконечно велико, его сопротивление переменному току имеет конечное значение X_c. С увеличением емкости оно уменьшается. Уменьшается оно и с увеличением частоты .

В заключение отметим, что на протяжении четверти периода, когда конденсатор заряжается до максимального напряжения, энергия поступает в цепь и запасается в конденсаторе в форме энергииэлектрического поля. В следующую четверть периода, при разрядке конденсатора, эта энергия возвращается в сеть.

Сопротивление цепи с конденсатором обратно пропорционально произведению циклической частоты на электроемкость. Колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на .

30.