Свойства операций над событиями

1. Коммутативность суммы и произведения: , .

2. Ассоциативность суммы и произведения:

, (АВ) С = А (ВС).

3. Дистрибутивность относительно сложения: .

4. Дистрибутивность относительно умножения (новое свойство, не выполняющееся для чисел): .

5. Включение А в В, т.е. , влечет за собой включение в , т.е. .

6. Совпадение двойного дополнения с исходным событием: .

7. Совпадение суммы и произведения одинаковых событий с самим событием

8. Законы де Моргана:

Определение. Сигма-алгеброй (σ-алгеброй) называют непустую систему подмножеств некоторого множества B, удовлетворяющую следующим двум условиям.

1. Если подмножество А принадлежит B, то дополнение A принадлежит B.

2. Если подмножества A ₁, A ₂,..., A_n,... принадлежат B, то их объединение и их пересечение принадлежит B.

Рассмотрим пространство элементарных исходов Ω. Элементы некоторой σ-алгебры B, заданной на Ω, будем называть событиями. В этом случае σ-алгебру B принято называть сигма-алгеброй (σ-алгеброй) событий.

Любая σ-алгебра событий содержит достоверное событие Ω и невозможное событие .

В случае конечного или счетного пространства элементарных исходов Ω в качестве σ-алгебры событий обычно рассматривают множество всех подмножеств Ω.

Замечание. Если в условии 2 счетное множество событий заменить на конечное, то получим определение алгебры событий. Любая σ-алгебра событий обязательно является алгеброй событий. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно.