Аксиоматическое определение вероятности
Пусть каждому событию А (т.е. подмножеству А пространства элементарных исходов Ω, принадлежащему σ -алгебре B) поставлено в соответствие число P(A). Числовую функцию P (заданную на σ -алгебре B) называют вероятностью (или в ероятностной мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам: Аксиома 1 (аксиома неотрицательности): Р(A) ≥ 0; Аксиома 2 (аксиома нормированности): Р(Ω) = 1; Аксиома 3 (расширенная аксиома сложения):для любых попарно несовместных событий A 1,..., An,... справедливо равенство
Значение P(A) называют вероятностью события А. Теорема. Вероятность удовлетворяет следующим свойствам. 1. Вероятность противоположного события 2. Вероятность невозможного события 3. Если 4. Вероятность заключена между 0 и 1: 0 ≤ P(А) ≤ 1. 5. Вероятность объединения двух событий
6. Вероятность объединения любого конечного числа событий
Иногда вместо аксиомы 3 удобно использовать две другие аксиомы. Аксиома 3' (аксиома сложения): для любых попарно непересекающихся событий A 1,..., An справедливо равенство
Аксиома 4 (аксиома непрерывности): если последовательность событий A 1,..., An, такова, что Определение. Тройку (Ω, B, P), состоящую из пространства элементарных исходов Ω, с σ-алгеброй событий B и определенной на B вероятности P, называют вероятностным пространством.
|
.
.
,то 
(„большему" событию соответствует большая вероятность).
.
, то, согласно расширенной аксиоме сложения, 
, откуда с учетом аксиомы нормированности получаем утверждение 1.
Утверждение 2 вытекает из равенства 
и расширенной аксиомы сложения.
Пусть 
, то с учетом аксиомы нормированности получаем утверждение 4.
Поскольку 
, 
, то, используя расширенную аксиому сложения, находим 
и 
. Подставляя в первое из последних двух равенств вероятность 
,выраженную из второго равенства, приходим к утверждению 5.
Утверждение 6 можно доказать с помощью метода математической индукции по п. Так, для трех событий А, В и С
, 
, и 
, то 
