Метод потенциалов для Td-задачи

Транспортная задача с ограниченными пропускными способностями отличается от T-задачи наличием ограничений сверху на перевозки: 0 £ x_ij £ d_ij. Если задача не сбалансирована, то добавляют столбец или строку с нулевыми затратами, но с ∞ пропускной способностью. Начальное решение строят по правилу минимального элемента. Принцип определения значений переменных: на каждом шаге присваивается максимальное допустимое значение согласно формуле X_ij =min(ост от a_i, ост до b_j, d_ij).

Если минимум достигается на d_ij, то не закрывается ни строка, ни столбец, и следует продолжать движение по строке или столбцу (если двигались по столбцу). Может оказаться, что в строке (столбце) больше нет открытых клеток, а она не закрыта - начальный план недопустимый. Если часть строк (столбцов) не закрыта, то обязательно не закроются и некот. столбцы (строки). Так как задача сбалансированная, то суммарная величина незакрытия строк = = g. Чтобы в этом случае завершить построение начального плана, добавляют фиктивного потребителя (столбец) и фиктивного поставщика (строку) с одинаковой потребностью и возможностью g. Так как их клетки соответствуют искусственным переменным, которые в разрешимой задаче должны стать равными нулю, затраты в них полагают бесконечно большими (М), а в клетке на пересечении фиктивного столбца с фиктивной строкой – равными нулю. Пропускные способности в фиктивных клетках не лимитируются. В процессе работы алгоритма план станет допустимым, когда все искусственные переменные обнулятся, то есть в юго-восточной клетке перевозка станет равна g. После построения начального плана определяются базисные клетки. Если их окажется меньше m+n-1 (вырожденный план), то в число базисных включают переменные (клетки), равные нулю или d_ij. На базисных клетках не д строиться замкнутый цикл, иначе клетки добавлены неверно.

bj ai				g =3
	8 3	5 1 5	10 5 7	М
	5 2	9 4 6	4 7	М
	12 6	11 2 11	10 3 9	М
	20 4 15	10 5 10	7 9 7	М 3
g =3	М	М 1	М 2

Пример: Исходные данные задачи приведены в табл. В клетках слева даны пропускные способности, справа – затраты на перевозки. Задача сбаланс-я. Начальный план строим по правилу минимального элемента, порядок построения показан стрелками. Строка 4 и столбцы 2 и 3 не закрылись: g =3.

Поэтому добавляем фиктивные строку и столбец, и в клетки незакрытых столбцов и строки записываем недостающие перевозки. В результате выполняется баланс по всем строкам и столбцам. Построенный недопустимый начальный план приведен в табл.

Так как общее число пунктов равно 9, то базисных переменных должно быть 8. Из сравнения значений x_ij и d_ij находим только 7 базисных переменных (базисные клетки закрашены), то есть план вырожденный. В качестве недостающей базисной клетки возьмем клетку 4,2, в которой значение переменной находится на верхней границе. Ни из каких базисных клеток нельзя построить замкнутый цикл.

Изменения на основном этапе алгоритма: Признак оптимальности в T_d-задаче расширяется. При введении в решение небазисной переменной x_ij= 0, то есть ее увеличении, критерий уменьшается при D _ij >0 и увеличивается при D _ij <0. Если же вводить переменную x_ij=d_ij, а это означает ее уменьшение, то критерий уменьшится при D _ij <0 и возрастет при D _ij >0. Этот характер изменения критерия показан на рис. Поэтому решение не может быть улучшено, если выполняются условия, составляющие признак оптимальности задачи с ограниченными пропускными способностями:

Если условия не выполняются хотя бы для одной небазисной клетки, решение может быть улучшено. Введем два множества: множество индексов переменных на нижней границе ; множество индексов переменных на верхней границе . Объединенное множество G= È является множеством индексов перспективных переменных (клеток): введение любой из них приведет к улучшению критерия. Выбор переменной, вводимой в базис, осуществляется на множестве G: При определении q₀ необходимо учитывать обе границы: при вычитании нельзя вычесть больше, чем имеется, а при добавлении недопустимо превысить пропускную способность:

1. Если , цикл строится на клетке, в которой перевозка равна 0. Новый план получается прибавлением q₀ в четных вершинах цикла и вычитанием в нечетных.

2. Если , цикл строится на клетке, в которой перевозка равна d_ij. В этом случае вводимая переменная должна уменьшаться. Перемещение по циклу состоит в вычитании q₀ в четных вершинах и прибавлении в нечетных.

В обоих вариантах значение критерия улучшается на величину q₀ |D_kr|.

Алгоритм решения сбалансированной Т_d-задачи включает следующие шаги:

1. Построение начального плана перевозок. План может получиться как допустимый, так и искусственный (недопустимый).

2. Выделение базисных клеток. Если их < m+n- 1, + клетки на границе.

3. Нахождение потенциалов.

4. Вычисление оценок

5. Начало цикла. Определение множества G по матрицам плана и оценок.

6. Проверка признака оптимальности: если G =Æ, переход на шаг 10.

7. Определение вводимой переменной (клетки kr) и построение цикла пересчета.

8. Построение нового плана: вычисление q₀ в зависимости от принадлежности kr и соответствующее перемещение по циклу.

9. Получение матрицы оценок нового плана с помощью преобразования матрицы оценок старого плана (как в Т-задаче). Переход на шаг 5.

10. Конец. Полученный план является оптимальным, если не содержит запрещенных перевозок (с затратами М).

Когда решение начинается с искусственного плана, то после достижения допустимого решения можно сократить матрицы перевозок и оценок за счет отбрасывания фиктивных столбца и строки.