МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СМО С ОТКАЗАМИ. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ

СМО содержит n обслуживающих каналов. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ;. Образование очереди не допускается. Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми, то она покидает систему.

Если в момент поступления требования имеется свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования. Каждый канал может одновременно обслуживать только одно требование.

Все каналы функционируют независимо. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ;. Среднее время обслуживания одной заявки tобсл =1/ μ;.

Возможные состояния СМО:

S 0- ни один канал не занят;

S 1- среди свободных каналов только один является занятым.

S k- среди свободных занято k каналов;

Sn- среди всех каналов нет ни одного свободного.

Размеченный граф состояний многоканальной СМО с отказами имеет следующий вид:

Состояние S ₀ означает, что все каналы свободны, состояние S_k (k= 1, n) означает, что обслуживанием заявок заняты k каналов. Переход из одного состояния в другое соседнее правое происходит скачкообразно под воздействием входящего потока заявок интенсивностью λ независимо от числа работающих каналов (верхние стрелки). Для перехода системы из одного состояния в соседнее левое неважно, какой именно канал освободится. Величина kμ характеризует интенсивность обслуживания заявок при работе в СМО k каналов (нижние стрелки).

 

Показатели эффективности работы СМО:

1)р ₀ (вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны);

· вероятность отказа ротк (вероятность того, что заявка покинет СМО

· необслуженной) ротк = рn;

· pk (вероятность того, что в системе k требований)

· относительная пропускная способность Q (отношение среднего числа обслуживаемых в единицу времени заявок к среднему числу поступивших за это время заявок) Q =1– ротк;

· абсолютная пропускная способность А (среднее число заявок, которое СМО может обслужить в единицу времени) А = λQ;

· среднее число свободных от обслуживания каналов N ₀ есть математическое ожидание числа свободных каналов

N 0= np 0+(n -1) p 1+…+1 pn -1+0 pn;

7) коэффициент простоя каналов

8) среднее число занятых обслуживанием каналов Nзан = ρQ; n = N 0+ Nзан;

9) коэффициент загрузки каналов

 

22 ОДНОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОЖИДАНИЕМ И ОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ МЕСТ В ОЧЕРЕДИ.

В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей — абсолютной А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа Pотк., среднего числа занятых каналов (для многоканальной системы) будем рассматривать также следующие:

L_сист. - среднее число заявок системе;

Т_сист. - среднее время пребывания заявки в системе;

L_оч. - среднее число заявок в очереди (длина очереди);

Т_оч. - среднее время пребывания заявки в очереди;

Р_зан. - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

В СМО с ограниченной очередью - число мест m в очереди ограничено. Следовательно, заявка, поступившая в момент времени, когда все места в очереди заняты, отклоняется и покидает СМО.

Граф такой СМО представлен на рис

Состояния СМО представляются следующим образом:

S 0 - канал обслуживания свободен,

S 1 – канал обслуживания занят, но очереди нет,

S 2 – канал обслуживания занят, в очереди одна заявка,

----------------------------------------------------------------------

S k+1 – канал обслуживания занят, в очереди k заявок,

----------------------------------------------------------------------

S m+1 – канал обслуживания занят, все m мест в очереди заняты.

При m = 0 (очереди нет) формулы Показателей эффективности переходят в формулы для одноканальной СМО с отказами.

23 МНОГОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОЖИДАНИЕМ И ОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ МЕСТ В ОЧЕРЕДИ

Пусть на вход СМО, имеющей n каналов обслуживания, поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ;. Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна μ;, а максимальное число мест в очереди равно m. Граф такой системы представлен

S 0 - все каналы свободны, очереди нет;

S l- заняты l каналов (l =1, n), очереди нет;

S n+i- заняты все n каналов, в очереди находится i заявок (i = 1, m).

Образование очереди происходит, когда в момент поступления в СМО очередной заявки все n каналов заняты, т.е. когда в системе будет находиться либо n, либо n + 1,…, либо (n + m – 1)заявок.

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты

24 ОДНОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОЖИДАНИЕМ И НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ МЕСТ В ОЧЕРЕДИ.

На практике часто встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной будкой, очередь в булочной с одним кассиром).

Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании — интенсивность μ.

Система может находиться в одном из состояний S0, S1, S2, …, Sk, по числу заявок, находящихся в СМО:

S0 — канал свободен;

S1 — канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,

S2 — канал занят, одна заявка стоит в очереди;...

Sk — канал занят, (k—1) заявок стоят в очереди и т.д.

25 МНОГОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОЖИДАНИЕМ И НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ МЕСТ В ОЧЕРЕДИ

Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании —интенсивность μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.

Система может находиться в одном из состояний S0, S1, S2,…, Sk,…, Sn,…, — нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО:

S0 — в системе нет заявок (все каналы свободны);

S1 — занят один канал, остальные свободны;

S2 — заняты два канала, остальные свободны;

Sk — занято k каналов, остальные свободны;

Sn — заняты все n каналов (очереди нет);

Sn+1 — заняты все n каналов, в очереди одна заявка;

Sn+r — заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди.

Интенсивность потока обслуживаний (переводящего систему из одного состояния в другое справа налево) не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до n увеличивается от величины m до nm, так как соответственно увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО большем, чем n, интенсивность потока обслуживании сохраняется равной nm.

Для СМО с неограниченной очередью при r < 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Pотк = 0, относительная пропускная способность Q = 1, а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = l.

Общая инфо:

Каналом обслуживания называется устройство в СМО, обслуживающее заявку. СМО, содержащее один канал обслуживания, называется одноканальной, а содержащее более одного канала обслуживания- многоканальной (например, 3 кассы на вокзале).

Если заявка, поступающая в СМО, может получить отказ в обслуживании (в силу занятости всех каналов обслуживания) и в случае отказа вынуждена покинуть СМО, то такая СМО называется СМО с отказами (примером такой СМО может служить АТС). Если в случае отказа в обслуживании заявки могут вставать в очередь, то такие СМО называются СМО с очередью (или с ожиданием). При этом различают СМО с ограниченной и неограниченной очередью. Примером первых СМО может служить мойка для автомашин с маленькой стоянкой для ожидающих машин, а примером вторых СМО может служить билетная касса или метрополитен.

Элементами СМО являются:

· входной (входящий) поток требований (заявок) на обслуживание;

· приборы (каналы) обслуживания;

· очередь заявок, ожидающих обслуживания;

· выходной (выходящий) поток обслуженных заявок;

· поток не обслуженных заявок;

· очередь свободных каналов (для многоканальных СМО).

Входящий поток - это совокупность заявок на обслуживание. Часто заявка отождествляется с ее носителем. Например, поток неисправной радиоаппаратуры, поступающий в мастерскую объединения, и представляет собой поток заявок - требований на обслуживание в данной СМО.

Как правило, на практике имеют дело с так называемыми рекуррентными потоками, потоками, обладающими свойствами:

· стационарности;

· ординарности;

· ограниченного последействия.

Характеристики эффективность работы системы:

n – число каналов в СМО;

λ – интенсивность поступления в СМО заявок;

μ;– интенсивность обслуживания заявок;

ρ = λ;/ μ – коэффициент загрузки СМО;

m – число мест в очереди;

р отк- вероятность отказа в обслуживании поступившей в СМО заявки;

Q ≡ p обс - вероятность обслуживания поступившей в СМО заявки (относительная пропускная способность СМО); при этом

Q = p _обс = 1 - р _отк ;

А – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО в единицу времени (абсолютная пропускная способность СМО)

L смо - среднее число заявок, находящихся в СМО;

n_з - среднее число каналов в СМО, занятых обслуживанием заявок. В то же время это

L обс - среднее число заявок, обслуживаемых СМО за единицу времени.

L смо - среднее число заявок, находящихся в СМО;

3 n - среднее число каналов в СМО, занятых обслуживанием заявок. В то же время это