Вероятностная динамическая задача инвестирования

Некто планирует инвестировать С тысяч долларов через фондовую биржу в течении последующих N лет. Инвестиционный план состоит в покупке акций в начале года и продажа их в конце этого же года. Накопленные деньги затем могут быть снова инвестированны (все или их часть) в начале следующего года. Степень риска инвестиции представлена тем, что прибыль имеет вероятностный характер. Изучение рынка свидетельствует о том, что прибыль от инвестиций зависит от (m) условий рынка (благоприятных или неблагоприятных). При этом условие (К) приводит к прибыли rK с вероятностью РК, К = 1,2,…,m. Как следует инвестировать С тысяч долларов для наибольшего накопления к концу (n) лет.

Обозначим:

x_i - сумма денежных средств, доступных для инвестирования в начале

i - го года (х₁ = С)

y_i - сумма реальной инвестиции в начале i - го года (y_i ≤ x_i)

Пусть f_i(x_i) - максимальная ожидаемая сумма поступления денежных средств за период от i - го до n - го года при условии, что в начале i - го года имеется сумма x_i. Для k - го условия рынка имеем следующее:

x_{i+1 =} (1+ rk)y_i + (x_i - y_i) =, k = 1,2,…,m = r k y_i + x_i

Так как вероятность k - го условия рынка равна p_k, рекурентное уравнение динамического инвестирования примет следующий вид:

F_i (x_i) = { P_k * f_i+1 (x_{i +} r_k y_i) }, i = 1,2,…,n 0 ≤ y_i ≤ x_i

Где f_n+1 (x_n+1) = x_n+1 так как после n - го года инвестиций нет.

Отсюда следует, что f_n (x_n) = { P_k (x_n + r_ky_n) } = x_{n *} p_r (1 + r_k) = x_n (1 + p₁ r₁ + p₂ r₂ + …+ p_mr_m),поскольку функция в фигурных скобках является линейной по y_n и, следовательно, достигает своего max при y_n = x_n.

Пример:

Пусть объем инвестиции составляет $ 10 000 на 4-х летний период. Существует 40% вероятность того, что деньги удвоятся, 20% - останетесь при своих деньгах и 40% - потеряете весь объем инвестиций. Необходимо разработать оптимальную стратегию инвестирования.

Используя принятые в модели обозначения имеем следующее:

C = $10⁴, n = 4, m = 3

P₁ = 0.4, p₂ = 0.2, p₃ = 0.4

R₁ = 2, r₂ = 0, r₃ = -1

Год 4

f₄ (x₄) = x₄ (1 + 0.4 * 2 + 0.2 * 0 + 0.4 * (-1)) = 1.4 x₄

Состояние	Оптимальное решение
f4(x4)	y4*
x4	1.4 x4	x4

Год 3

f₃(x₃) = {p₁f₄(x₃ + r₁ y₃) + p₂ f₄ (x₃ + r₂ y₃) + p₃ f₄ (x₃ + r₃ y₃) }= max {1.4 x₃ + 0.56 y₃ } = 1.96x₃

Состояние	Оптимальное решение
f3 (x3)	y3*
x3	1.96 x3	x3

 

Год 2

f₂ (x₂) = {1.96x₂ + 0.764y₂} = 2.744x₂

Год 1

F₁ (x₁) = { 2.744x₁ + 1.0976y₁} = 3.8416x₁

Оптимальную инвестиционную политику можно сформулировать следующим образом. Так как y_i^* = x_i для i = 1,2,3,4, то оптимальным решением является инвестирование всех наличных денежных средств в начале каждого года. Наконленные денежные средства к концу четырех лет составят 3.8416 x_i = 38416 долларов.