Математические модели аналоговых объектов

Аналоговыми называют объекты, входные внутренние и выходные координаты которых могут принимать значения из некоторых непрерывных множеств значений, и время отчитывается непрерывно.

Логические модели.

В достаточно большом числе практических случаев техническое состояние аналоговых объектов можно оценить по принципу «в норме – не в норме» (годен – не годен). При этом используются модели логического типа и для их анализа применяют соответствующий математический аппарат. Исходными данными для построения логических моделей являются структурные, функциональные и принципиальные схемы объекта, системы алгебраических и дифференциальных уравнений, причинно – следственные связи между параметрами объекта. Основное достоинство логических моделей – их простота.

Однако логические модели имеют ограниченное применение при решении задач поиска дефектов.

Для построения логической модели объекта каждый входной (выходной) сигнал блока Б _i, характеризуемый несколькими параметрами, представляют несколькими входами (выходами), число которых равно числу этих параметров. Так, если для блока Б _i внешний сигнал X _i (рисунок 5) характеризуется двумя параметрами, внутренний сигнал Z _i – тремя, а выходной сигнал Y _i – двумя параметрами, то в логической модели блок Б _i будет иметь пять входов и два выхода (рисунок 6).

Затем каждый блок Б _i, имеющий К _i выходов, заменяют блоками Б _i, каждый из которых имеет один выход Y _ij и существенные для данного выхода входы. В результате получим множество [Q_i], j = 1,2..h; блоков логической модели, где N-число блоков.

 

Рисунок 5 – Логическая модель объекта

Рисунок 6 – Логическая модель объекта

Значение входа (выхода) блока допустимо, если значение соответствующего ему параметра принадлежит области допустимых значений. В этом случае значение входа (выхода) обозначают цифрой 1, в противном случае – 0.

Если каждой входной переменной блока Б _i модели соответствует одно из двух значений 1 или 0, то его выходная функция F _i является булевой. Путем представления булевой функции в совершенной дизъюнктивной нормальной форме и ее дальнейшей минимизации, для каждого блока модели может быть получена совокупность существенных входов (переменные входящие в минимальную форму – существенные).

Значение выхода Y _i блока Q _i логической модели зависит от того, имеется ли в блоке дефект, а также от значения реализуемой блоком функции F _i, т.к. Y _i = Q_i ∙ F_i. Если в блоке отсутствует дефект – Q_i = 1, в противном случае Q_i = 0. Изложенная информация может быть приведена в виде таблицы дефектов объекта представленного логической моделью (таблица 1).

Таблица 1

R-множество возможных состояний	E-множество технических состояний
Q0	Q1	Q2	Q3	Q4	Q5
П-множество проверок	y 1
y 2
y 3
y 4
y 5

 

Информация о состоянии объекта снимается с выходов блоков логической модели. Максимум информации можно получить в том случае, если контролируются выходы всех блоков. Однако при решении задач проверки работоспособности и даже поиска дефектов, в общем случае, нет необходимости проверять все выходы блоков. Во многих случаях есть возможность определить минимальное число выходов блоков модели, необходимых и достаточных для решения той или иной задачи диагностирования.

При работе с логической моделью предполагают, что на входы объекта поступает единственное входное воздействие, определяемое допустимыми значениями входных сигналов. Поэтому возможные элементарные проверки объекта могут различаться только составом контрольных точек. В этом случае задача построения алгоритма диагностирования сводится к выбору совокупности контрольных точек, достаточной или необходимой и достаточной (минимальной) для рассматриваемой задачи диагностирования.

Если объект многорежимный, т.е. предназначен для выполнения нескольких алгоритмов функционирования, в которых участвуют разные совокупности блоков и связей, то каждый режим (алгоритм) следует рассматривать отдельно, т.е. алгоритмы проверки работоспособности или поиска дефектов следует строить отдельно для каждого режима по соответствующей таблице дефектов, а затем полученные совокупности элементарных проверок объединить.

В тех случаях, когда объект не имеет явно выраженных функциональных блоков, построение его логической модели может вызвать затруднение. Кроме того, возможны ситуации, когда точные зависимости между параметрами объекта неизвестны, а известно лишь о влиянии одного параметра на другой или о зависимости одного параметра от другого.

Такого рода влияния и зависимости хорошо согласуются с понятием причинно-следственных связей, которые охватывают также строгие формальные зависимости между параметрами объекта.

Графом причинно-следственных связей называют ориентированный граф, вершинами которого являются параметры, а дуги отражают причинно-следственные связи между вершинами. Направление дуги соответствует направлению перемещения от причины к следствию.

Графы причинно-следственных связей применяют для представления различных электрических, механических, комбинированных (например, электромеханических) устройств, механизмов, машин и различных технологических процессов.

Логическая модель объекта может трактоваться как граф причинно-следственных связей между входными, внутренними и выходными параметрами объекта. При этом вершины графа соответствуют входным параметрам объекта и выходным параметрам блоков модели, а дуги – связям блоков между собой и с внешними входами объекта.

Модели в виде систем дифференциальных уравнений.

Свойства динамических аналоговых объектов определяются дифференциальными уравнениями (линейными и нелинейными).

L ₁ y ₁ = f ₁(t)

…………

L _k y _k = f _k(t)

где – линейный оператор порядка n _i. y _i и f _i - выходная и входная функции соответственно.

Использование линейных дифференциальных уравнений в качестве диагностической модели позволяет сформулировать условия работоспособности в виде ограничений на реакцию объекта при стандартном входном воздействии, изменении значений коэффициентов уравнений и, в общем случае, при перемещении полюсов и нулей на комплексной плоскости. Однако для построения моделей в этом случае необходимо знать большое число параметров объектов, которые на этапе проектирования с достаточной точностью получить не удается. В связи с этим на практике часто ограничиваются рассмотрением зависимостей (передаточных функций) между некоторыми, представляющими наибольший интерес, входами и выходами объекта.

В ряде случаев в качестве диагностической модели можно рассматривать характеристическое уравнение: a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + … + a₀ = 0, и анализировать только изменение коэффициентов a _i или полюсов p _i (i=1,n). Известно, что полюсы определяют характер изменения выходного сигнала во времени и величины собственных частот объекта, а нули определяют относительную величину составляющих выходного сигнала.

Если характеристическое уравнение высокого порядка, то с целью упрощения вычислений используют для анализа эквивалентное уравнение более низкого порядка. Для того, чтобы сохранить существующие связи между коэффициентами уравнений и параметрами объекта, эквивалентное уравнение получают «усечением», т.е. простым устранением ряда членов при условии эквивалентности по определяющим корням уравнения.

Диаграммы прохождения сигналов.

При решении задач поиска дефектов обычно учитываются структурные особенности и внутренние связи в объекте, для чего удобно использовать графоаналитические модели объекта в виде диаграмм прохождения сигналов.

Графическое изображение диаграмм прохождения сигналов представляют собой схему, состоящую из узлов, соединенных направленными ветвями. Диаграмме, как правило, соответствуют переменные (ветви характеризуют связь между переменными); их операторам – коэффициенты уравнений.

В ряде случаев диаграмма прохождения сигналов может быть построена без составления уравнений, только на основании рассмотрения структуры объекта (рисунок 7).

 

Рисунок 7 – Диаграммы прохождения сигналов

 

 

Узлами диаграммы могут быть источники, простые каскадные узлы и стоки. Источники – это такие узлы, у которых имеются только выходящие ветви; стоки – только входящие ветви. Источники соответствуют независимыми переменным, а стоки – зависимым. Узлы с входящими и выходящими ветвями являются простыми каскадными узлами.

Каждой ветви соответствует свой оператор T _ij, где i – узел откуда начинается ветвь, j – узел, где ветвь заканчивается. Направление ветви указывают стрелкой. Каждому узлу соответствует своя переменная, равная сумме входящих в узел сигналов: , j = 1,2…N.

Каждый входящий сигнал равен произведению оператора входящей ветви на сигнал узла, из которого ветвь выходит.

Топологическая модель

Топологической моделью объекта называют ориентированный граф. Вершинами которого, являются свойства объекта, или характеризующие эти свойства параметры. Вершинами графа могут быть также существенные свойства или параметры внешней среды.

Структурные параметры – это параметры, характеризующие свойство или функционирование отдельных составных частей объекта, в модели им соответствуют возможные дефекты, вызывающие нарушение свойств или нормальное функционирование составных частей. Структурные параметры и соответствующие им дефекты обозначаются одними и теми же символами d_i, i=1,2,…,n. Эти параметры в модели являются входными вершинами графа (вершинами, не имеющими заходящих дуг, ведущих от других вершин). Другие параметры модели называемые косвенными, обозначаются X_j, j=1,2,3,…,n. Эти параметры являются внутренними вершинами графа (рисунок 8).

Рисунок 8 – Топологическая модель объекта

 

Каждой вершине d_i или x_i графа соответствует число – вес вершины a(d_i) или a(x_i), который характеризует затраты на оценку соответствующих параметров (время, стоимость, доступность для измерения) и достоверность оценки. Если оценка параметра непосредственно невозможна, или не может быть осуществлена без разборки объекта, то вес вершины принимается равным нулю.

Дуги (ветви) графа представляют причинно – следственные связи между параметрами. Каждой дуге графа ставится в соответствие число – вес дуги I (X_k / X_j), представляющий собой относительное количество информации о значении параметра X_k. Значение этого параметра, соответствующего начальной вершине дуги, получают в результате оценки параметра X_j, в свою очередь соответствующего конечной вершине дуги. Веса дуг (петель) одинаковы и равны некоторой максимальной величине: f (X_k / X_j) = I _max, т.е. максимум информации о значении параметра может быть получен при оценке самого параметра.

Для удобства расчетов целесообразно перейти от абсолютных весов вершин и дуг к их относительным весам соответственно:

где a _max - максимальный абсолютный вес некоторой вершины.

Т.к. данные для расчета количества информации обычно отсутствуют, то для оценки весов дуг могут использоваться мнения экспертов.