В 1. О______о Странненько, конечно, но возразить нечего, поэтому пусть так

Если оператор обозначить буквой , то результат его применения к элементу записывают в виде

Множество называется областью определения оператора , элемент при этом называется образом элемента , а сам элемент – прообразом элемента . Совокупность всех образов называется областью значений оператора . Если каждый элемент ′ имеет только один прообраз, то оператор называется взаимно однозначным. Множество элементов , удовлетворяющих равенству , называются ядром оператора .

Будем в дальнейшем под и понимать линейное пространство .

 

28. При каких условиях оператор линейного пространства называется линей­ным?

Определение. Оператор называется линейным, если для любых двух векторов и из и произвольного числа выполняются условия:

1. (аддитивность);

2. (однородность).

29. Как определяется матрица линейного оператора линейного пространства?

Определение. Матрица называется матрицей линейного оператора в базисе , а сам этот оператор называют оператором с матрицей в базисе .

Если ввести в рассмотрение одностолбцовую матрицу

(4.3)

и вычислить произведение матриц

то получим одностолбцовую матрицу, элементами которой являются суммы, стоящие в правых частях равенств (4.1).

Если же ввести в рассмотрение матрицу

(4.4)

и воспользоваться понятием равенства матриц, то система:

может быть записана в виде:

(4.5)

30. Приведите примеры линейных операторов линейного пространства.

Приведем наиболее известные примеры линейных операторов и соответствующие им матрицы.

1. Поворот плоскости вокруг начала координат на угол против часовой стрелки, так что произвольный вектор переходит в вектор .

Для вывода формул преобразования координат сделаем чертеж (рис.1).

Рис. 1

Обозначим через и соответственно координаты векторов и . Непосредственно видно, что

Учитывая, что и

получаем формулы преобразования координат

а тогда для матрицы оператора имеем

2. Растяжение вдоль оси в раз, а вдоль оси в раз. Формулы преобразования координат в этом случае имеют вид:

а матрица оператора

Рис.2

3. Зеркальное отражение относительно оси . В этом случае формулы преобразования имеют вид

матрица оператора

а на чертеже (рис.2) произвольной точке будет соответствовать точка .

4. Поворот в обычном трехмерном пространстве на угол вокруг оси . Формулы преобразования координат имеют в этом случае следующий вид

а матрица оператора

5. Тождественный оператор. Так называется оператор, при котором преобразование координат определяется формулами

и, следовательно, матрица оператора в любом базисе имеет вид

6. Нулевой оператор. Для всех векторов из имеем

Матрица этого оператора обозначается и состоит из одних нулей, так что

31. Какой оператор называется суммой линейных операторов?

Определение. Суммой операторов и в пространстве называется такой оператор , для которого выполняется равенство

где – любой вектор из .

Можно показать, что сумма линейных операторов является линейным оператором, причем его матрица равна сумме матриц и операторов и , то есть .

32. Какой оператор называется произведением линейного оператора на число?

Определение. Произведением линейного оператора на число называется оператор , определяемый равенством

где – любой вектор из .

Можно показать, что оператор является линейным оператором, а его матрица равна произведению числа на матрицу оператора , то есть .

 

33. Какой оператор называется произведением двух линейных операторов?

Определение. Оператор , переводящий вектор непосредственно в , называется произведением оператора на оператор , т.е. для всех векторов из имеет место равенство

при этом используется запись .

Можно показать, что произведение линейных операторов есть снова линейный оператор, а его матрица равна произведению матриц этих операторов, взятых в порядке, обратном действию операторов, то есть

34. Какой оператор линейного пространства называется сопряжённым по отношению к другому оператору линейного пространства?

Определение. Оператор называется сопряженным по отношению к оператору , если для любых векторов и из пространства выполняется равенство

Можно показать, что если оператор линейный, то у него существует единственный сопряженный оператор . При этом, если матрица

является матрицей оператора , то матрицей оператора . является матрица

Такая матрица называется сопряженной по отношению к матрице . При этом, если оператор действует из в то .

Можно показать, что имеет место следующая теорема.

35. Какой линейный оператор называется самосопряжённым (или Эрмитовым)?

Определение. Линейный оператор называется самосопряженным (или Эрмитовым), если он совпадает со своим сопряженным, т.е. если для любого вектора из выполняется равенство

Определение. Квадратная матрица называется симметричной, если для ее элементов выполняется равенство

 

36. Как происходит замена базиса в линейном пространстве?

 

Нетрудно заметить, что если в n-мерном пространстве имеется два базиса e₁, e₂, …, e_n и e’₁, e’₂, …, e’_n, то координаты произвольного вектора в одном базисе будут отличаться от координат того же вектора в другом базисе. Выясним, как связаны координаты произвольного вектора Х относительно базиса e₁, e₂, …, e_n с координатами этого вектора относительно базиса e’₁, e’₂, …, e’_n. Не уменьшая общности, рассмотрим трехмерный случай. Обозначив через x₁, x₂, x₃ и x’₁, x’₂, x’₃ координаты вектора относительно базисов e₁, e₂, e₃ и e’₁, e’₂, e’₃, соответственно, сможем написать:

, (1)

. (2)

Для каждого из ортов e’1, e’2, e’3 имеют место следующие разложения в базис e1, e2, e3:

(3)

где - координаты вектора e’j в базисе e1, e2, e3.

Подставляя (3) в (2), получим:

x=(τ11x’1+τ12x’2+τ13x’3)e1+(τ21x’1+τ22x’2+τ23x’3)e2+(τ31x’1+τ32x’2+τ33x’3)en. (4)

Сравнивая теперь (1) с (4) и, учитывая единственность разложения вектора Х в базисе e₁, e₂, e₃, получим формулы, выражающие его координаты относительно базиса e1, e2, e3 через координаты базиса e’₁, e’₂, e’₃:

 

(5)

Если ввести в рассмотрение одностолбцовые матрицы , в матрицу

то систему (5) можно заменить одним матричным равенством Х=Т*Х’. Матрицу Т называют матрицей поворота координатной системы. Итак, координаты вектора x относительно базиса e1, e2, e3 линейно выражаются с помощью формулы (5) через его координаты относительно базиса e’1, e’2, e’3. Матрица системы (5) совпадает с матрицей, получающейся в результате транспонирования матрицы перехода от базиса e’1, e’2, e’3 к базису e1, e2, e3 (см. равенства 3).

37. Что такое ортогональное преобразование в евклидовом пространстве?

 

Пусть базисы е₁, е₂, е₃ и е’₁, e’₂, e’₃ ортонормированные.

Тогда справедливо:

e’₁e’₁=e’₂e’₂=e’₃e’₃=1, e’₁e’₂=e’₂e’₃=e’₂e’₃=0 (1). Подставляя представление базиса e’ в базисе е:

e'1=t11e1+t21e2+t31e3; e'2=t12e1+t22e2+t32e3; e'3=t13e1+t23e2+t33e3,

в (1) и учитывая, что векторы е1, е2, е3 тоже единичны и взаимно ортогональны, получим:

t₂₁₁+t₂₂₁+t₂₃₁=1; t₁₁t₁₂+t₂₁t₂₂+t₃₁t₃₂=0;

t₂₁₂+t₂₂₂+t₂₃₂=1; t₁₁t₁₃+t₂₁t₂₃+t₃₁t₃₃=0;

t₂₁₃+t₂₂₃+t₂₃₃=1; t₁₂t₁₃+t₂₂t₂₃+t₃₂t₃₃=0. (2)

Всякая матрица Т, элементы которой удовлетворяют соотношениям (2), называется ортогональной, а соответствующее преобразование – ортогональным преобразованием.

Линейное преобразование j евклидова пространства Еп называется ортогональным преобразованием этого евклидова пространства, если оно сохраняет скалярный квадрат всякого вектора, т. е. для любого вектора а (аj, аj)=(а, а).

38. Что происходит с длинами векторов и углами между ними при ортогональ­ном преобразовании в евклидовом пространстве?