Совсем голяк, формулы есть, но не хрена не понятно, а выводы на 5 страниц, посмотреть можно в лекция про нормированные пространства
75. Определение нормированного пространства. Примеры нормированных пространств.
Определение 1. Линейное пространство a) b) c) Таким образом, норма — это определенная всюду на Определение 2. Множество
Пример 1. В вещественном линейном пространстве
Аксиомы нормы 1) и 2) выполняются тривиально. Неравенство треугольника (аксиома 3)), известное из курса линейной алгебры, будет доказано позже в более общем случае. Полученное нормированное пространство в линейной алгебре известно как евклидово пространство и обозначается Пример 2. Пространство
Проверим аксиомы нормы 1) 2) 3)
Это первая лаба, второй к превеликому сожалению нигде нет и это очень грустно, хнык T_T Напоминлка про операции с матрицами, вдруг пригодится.
|
называется нормированным пространством, если каждому 
поставлено в соответствие неотрицательное число 
(норма 
) так, что выполнены следующие три аксиомы:
в том и только в том случае, когда 
;
.
называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов 
поставлено в соответствие вещественное число 
, удовлетворяющее аксиомам a), b), c). Таким образом, метрические пространства можно считать обобщениями нормированных пространств.
-мерных столбцов 
введем норму
.
. Введем в 
норму
‑ это очевидно. Пусть 
, т.е. 
; но тогда все 
и 
.
, откуда вытекает однородность нормы.
, т.е. 
. Переходя в этом неравенстве слева к 
по 
, получим неравенство треугольника.
