Непрерывность функции, точки разрыва. Замечательные пределы

 

1. Непрерывность функции в точке

 

Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке хо и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

 

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

 

1) функция ƒ (х) определена в точке x0 и в ее окрестности;

2) функция ƒ(х) имеет предел при х→хо;

3) предел функции в точке хо равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1).

 

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

 

Пусть функция у=ƒ(х) определена в некотором интервале (а;b). Возьмем произвольную точку хо є (а;b). Для любого хє(а;b) разность х-хо называется приращением аргумента х в точке х0 и обозначается ∆х («дельта х»): ∆х=х-x0. Отсюда х=х0+∆х.

 

Разность соответствующих значений функций ƒ(х)-ƒ(х0) называется приращением функции ƒ(х) в точке х0 и обозначается ∆у (или ∆ƒ или ∆ƒ(х0)): ∆у=ƒ(х)-ƒ(х0) или ∆у=ƒ(х0+∆х)-ƒ(х0) (см. рис. 119).

 

2. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х=х0 — точка разрыва функции у=ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

 

1. Функция определена в окрестности точки х0, но не определена в самой точке х0.

 

Например, функция у1/(x-2) не определена в точке х0=2 (см. рис. 120).

2. Функция определена в точке х0 и ее окрестности, но не существует предела ƒ(х) при х→х0. Например, функция

определена в точке х0=2 (ƒ(2)=0), однако в точке х0=2 имеет разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при х→2:

 

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел: