Вывод алгоритма уравнивания параметрическим способом

Необходимо найти такой вектор х, чтобы он был несмещ-ой, дост-ой и эффект-ой оценкой. Поскольку вектор х есть вектор поправок в приближенные значения координат, то и корд-ты будут несмещ-мии эффек-ми, т.е. наиболее точными. Вывод алгоритма уравнивания будем вести на основе оценки функции уравненных значений параметров х и измерен.l. Суть вывода алгоритма заключ. В том, что некоторую функцию в геод-ой сети можно вычислить дважды. Z= C^TX, Z=-b^TL. Оба знач. д.б. один-ми. эти 2 выраж. прив. к 1 тому же рез-ту. Пусть им-ся сеть

Пусть им-ся упавнения значений отметок 1,2., то превышение как функции h=Z=H2-H1. С другой стороны этот же результат мы должны пол-ть выраж. Z=-b1*l1-b2*l2-b3*l3, где l1, l2, l3-свободн. Члены уравнения поправок для измер. превыш. h1,h2,h3. l1=H⁰₁-H_A-h1; l2=H⁰₂-H⁰₁-h2; l3=HB-H⁰₂-h3, где H_A,H_b – высоты исходных реперов А и В, H⁰i-приближ. значения высот опред. реперы 1 и 2.В данном случае С^T=(-1 +1), X = H1 Задача заключ. в том, чтобы найти такой вектор B^T, чтобы

H2

оценка функции Z была достаточной. несмещ. и эффективной. Решение задачи в общем виде: Z= C^TX, Z=-b^TL, V=AX+L(урав-е поправок). 1. достат-ть: Дост-ть оц. фуккции Z в каком бы виде она не была зап. измер. налич. обр-ки всех измерений, т.е. всей системы уравнений поправок. 2. несмещ-ть. Очевидно, что матем. ожидание Z: M_Z = C^TМ_X, M_Z =-b^TМ_L. Согласно условию несмещ-ти мат_. ожидание вектора поправок д.б.=0, тогда будет след. выражение: MV=AМ_X+М_L, Поск-ку MV=0, то

AМ_X= - М_L. Введем алгебр. запись условия несмещ-ти для этого полагаем, что М_L= -AМ_X, M_Z= C^TМ_X, M_Z= -b^T(-AМ_X) левые части этих выражений = M_Z, то C^TМ_X =b^T(-AМ_X); C^T=b^TA или A^Tb=C. Чтобы оценка была несмещенной должно вып-ся это условие. 3. Эффектив-ть. Согласно этому свойству или условию дисперсия функции Z д.б. минимальной. Z=-b^TL D_Z=b^TK_Lb=min. Min дисперсия будет наход-ся при условии несмещенности: D_Z= b^TK_Lb+2λ^Т (A^Tb-С) =min. Поск-ку свобод. Член выч-ся по измер., то это есть корреляционная матрица измерений K_L= σ²* P^-1 (σ =стандарт вес которогопринят =1, Р- весовая матрица). Найдем вектор b в этой задаче. D_Z= σ² b^T P^-1 b+2λ^Т (A^Tb-С) =min; ∂ D_Z /∂b=2 σ² b^T P^-1 +2λ^ТA^T=0; σ² b^T P^-1 +λ^ТA^T=0; σ² b^T P^-1=- λ^ТA^T

Для решения этого уравнения умножим его справа на матрицу Р: σ² b^T P ^-1Р = - λ^ТA^T Р, σ² b^T= - λ^ТA^T Р, b^T= - λ^ТA^T Р1/ σ². В этом выраж. неиз-м яв-ся λ^Т. Найдем его из условия несмещ-ти. b^TA- C^T= 0. Подст-м это условие в b^T: -1/ σ² λ^ТA^T РA- C^T= 0; -1/ σ² λ^ТN- C^T= 0; -λ^ТN= σ² C^T. Для вычисления λ^Т умножим это выражение на N^-1: -λ^ТN N^-1= σ² C^T N^-1, -λ^Т = σ² C^T N^-1, λ^Т = -σ² C^T N^-1. Ранее было b^T =1/ σ²λ^ТA^T Р. Подст-м λ^Т: b^T = C^T N^-1A^T Р. Поск-ку мы ранее иск. Z= -C^T N^-1A^T РL

В частном случае, если Z=X, C^T=Е, тогда X= -N^-1A^T РL- это единичная несмещ, эффективн. оценка поправок в приближенные значения координат, а значит и координ-т опред-х пунктов D_Z= b^TK_Lb, K_L= σ²* P^-1, b^T = C^T N^-1A^T Р, D_Z= C^T N^-1A^T Р* σ²* P^-1 Р A N^-1C, Р* P^-1=Е,, D_Z= σ² C^T

N^-1 A^T Р A N^{-1C, AT} Р A=N, тогда D_Z= σ² C^T N^-1 N N^{-1C, N N -1}=Е, D_Z= σ² C^T N^{-1 C.} В частном случае C^T=Е, тогда D_Z=D_X= σ² N^-1

Таким образом, алгоритм уравнивания параметрическим способом заключается в следующем:

а) составляется система уравнений поправок V=A*X+L

б) вычисляется матрица нормальных уравнений N = А^T РА;

в) находится вектор параметров X= -N^-1A^T РLи оценивается его точность D_X= σ² N^-1

Настоящий алгоритм можно вывести и на основе метода наименьших квадратов. Согласно этому методу должно выполняться условие: V^TPV=min, V=AX+L. Неиз-н вектор Х? Ф= V^TPV, ∂ Ф/∂х=2V^TP∂ V/∂х=0, V=AX+L, ∂ V/∂x=A, ∂ Ф/∂х=2V^TPA=0, V^TPA=0, (V^TPA)^T=0, A^TPV=0, A^TP(AX+L)=0, A^TPA+ A^TPL=0, A^TPA=N, Nx+ A^TPL=0, Nx=- A^TPL. Для вычисления умножим эту матрицу на N^-1слева. N^-1 Nx=- N^-1 A^TPL, x=- N^-1 A^TPL