Необходимое условие устойчивостиХарактеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде D(p) = aopn + a1pn-1 + a2pn-2 +... + an = ao(p-p1)(p-p2)...(p-pn) = 0, где p1, p2,..., pn - корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней отрицательны, что можно записать как ai = -|ai| < 0. Подставим их в уравнение: a0 Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим: a0 После раскрытия скобок должно получиться выражение a0 Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a0,a1,...,an не будет отрицательным. Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a0 > 0, a1 > 0,..., an > 0. В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a0 > 0. В противном случае уравнение домножается на -1. Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.
|
(p + |a1|) 
2) 
