Анализ релейных систем. Понятие устойчивости по Ляпу­нову. Устойчивость в малом, большом и целом. Абсолютная устойчивость положения равновесия. – Лукьянцев

 

Анализ релейных систем. Понятие устойчивости по Ляпу­нову. Устойчивость в малом, большом и целом. Абсолютная устойчивость положения равновесия

 

Релейная система управления - система автоматического регулирования, устойчивое функционирование которой обеспечивается периодическим переключением направления движения. При этом управляющее воздействие может принимать ограниченное число фиксированных значений. В типовом случае – два. Реже – три.

Устойчивость — свойство САУ возвращаться в заданный или близкий к нему установившийся режим после какого-либо возмущения.

Устойчивая САУ — система, в которой переходные процессы являются затухающими.

Теорема Ляпунова. Если существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая в области условиям

1) при,

2) при , ,

то нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову.

Если вместо условия 2) выполнено более сильное условие

3) при , ,

а функция непрерывна на , то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Асимптотически устойчивым был назван такой процесс в системе, который будучи возмущен, асимптотически возвращается к процессу, имевшему место в системе в отсутствие возмущений.

Т.е. Асимптотическая устойчивость - Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие для всякого x с начальным условием x₀, лежащим в достаточно малой окрестности нуля.

Одно из отличий поведения нелинейных систем при наличии существенных нелинейностей от поведения линейных САУ является то, что переходные процессы в нелинейных системах зависят от начальных условий (отклонений).

В связи с этим, для нелинейных систем введены понятия устойчивости "в малом", "в большом", "в целом".

- Система устойчива "в малом", если она устойчива при малых (бесконечно малых) начальных отклонениях.

- Система устойчива "в большом", если она устойчива при больших (конечных по величине) начальных отклонениях.

- Система устойчива "в целом", если она устойчива при любых больших (неограниченных по величине) начальных отклонениях.

На рисунке 1 приведены фазовые траектории систем: устойчивой "в целом" (а) и системы устойчивой "в большом" и неустойчивой "в малом" (б);

Рисунок 1 - Фазовые траектории нелинейных систем

 

80 Дискретные (цифровые) автоматические системы регулирования (ЦАСР). Квантование, модуляция, демодуляция. Математический аппарат ЦАСР. Прямое и обратное дискретное преобразование Лапласа, Z-преобразование. – Мурсалимов