Соотношение между z-преобразованием и преобразованием Фурье

 

Z -преобразование дискретной последовательности можно рассматривать как способ ее однозначного представления в комплексной z -плос­кости. Вычислим z -преобразование последовательности x (n) при Из равенства

следует

(1.58)

Это выражение совпадает с выражением для преобразования Фурье исходной последовательности. Другими словами, преобразование Фурье является частным случаем z -преобразования, вычисленного на единичной окружности в z -плоскости.

Следует отметить, что единичная окружность в z -плоскости играет весьма важную роль. Например, имеются нереализуемые системы, такие как идеальный фильтр нижних частот или идеальный дифференциатор, z -преобразование которых сходится только на единичной окружности, т. е. эти системы имеют Фурье-преобразование, но не имеют z -преобра­зования.

Наконец, необходимо отметить, что если все особые точки расположены внутри круга единичного радиуса на z -плоскости, то система с соответствующей импульсной характеристикой будет устойчивой.

7. Обратное Z-преобразование и методы его нахождения: на основе теоремы о вычетах, разложение на простые дроби и в степенной ряд.

Обратное z -преобразование позволяет определить значения дискретного сигнала по виду функции Оно может быть найдено из выражения с помощью интегральной теоремы Коши и формально определяется соотношением

(1.48)

где С – контур интегрирования с направлением обхода против часовой стрелки, расположенный в области сходимости X (z) и охватывающий на­чало координат на z -плоскости.

Например, контуром интегрирования может быть окружность радиуса C > R, где R– радиус сходимости z -преобразования (предполагается, что последовательность x (n) физически реализуема).

Обратное z -преобразование находят в основном с помощью следующих методов:

1) с использованием теоремы о вычетах;

2) разложением X (z) на простые дроби;

3) разложением X (z) в степенной ряд;

У каждого метода есть свои преимущества и недостатки. С точки зрения математической строгости метод вычетов, возможно, самый элегант­ный. Однако, метод степенных рядов лучше всего подходит для компьютерных расчетов.

Первый способ основан на известной из теории функций комплексного переменного теореме, утверждающей, что контурный интеграл, определяющий обратное z -преобразование, может быть вычислен непосредственно через вычеты, т. е.

во всех полюcах внутри окружности C ], (1.49)

где

При этом вычеты комплексной функции с полюсом в точке и кратностью n определяются по известной формуле:

(1.50)

Для простого (отдельного) полюса данное выражение сводится к следующему:

(1.51)

Пример 1.2. С помощью метода вычетов найти дискретную последовательность, соответствующую следующему z -преобразованию:

При этом предположим, что контур интегрирования C – окружность с радиусом

Решение. Чтобы найти обратное z -преобразование, найдем вычеты функции которая в данном случае равна

Функция имеет полюсы p ₁ и p ₂ в точках z = 0,75 и z = –0,5 соответственно. Оба полюса лежат внутри контура интегрирования. Тогда обратное z -преобразование задается в виде:

Поскольку оба полюса простые (первого порядка), получим

Аналогичным образом

Тогда

При использовании второго способа, функцию X (z) представляют в виде разложения на элементарные дроби

(1.52)

где является вычетом функции X (z) в полюсе, расположенном в точке При этом предполагается, что полюсы различные, т. е. если

Поскольку z -преобразование – линейная операция то и обратное z -преобразование также является линейным. Это означает, что последовательность можно получить суммированием обратных z -преобразо­ваний каждого отдельного слагаемого последнего выражения.

Вычет связанный с полюсом можно найти, умножив правую и левую часть уравнения для X (z) на а затем сделав замену т. е.

для (1.53)

Тогда

(1.54)

Проиллюстрируем данный метод следующим примером.

Пример 1.3. Найти обратное z -преобразование функции

Решение. Для упрощения дальнейших вычислений выразим вначале z -преобразование через положительные показатели степени z, умножив числитель и знаменатель на

Как видно, функция X (z) имеет полюса первого порядка в точках z = 0,75 и z = –0,5. Поскольку порядок числителя меньше, чем порядок знаменателя, разложение на элементарные дроби выглядит так:

Чтобы упростить поиск значений разделим правую и левую части последнего уравнения на z:

Для нахождения умножим правую и левые части данного уравнения на и сделаем замену переменных

Отсюда

Аналогичным образом находится и второй вычет

Тогда искомое обратное z -преобразование будет определяться выражением:

Рассмотрим далее метод степенных рядов, применяемый для нахождения обратного z -преобразования. Если дано z -преобразование X (z), то его можно выразить через отношение двух многочленов от или, что эквивалентно, от z:

(1.55)

Это выражение можно разложить в бесконечный ряд относительно z ^–1 путем деления в столбик (иногда его называют синтетическим делением):

(1.56)

В этом методе числитель и знаменатель функции X (z) сперва выражается либо через уменьшающийся показатель степени z, либо через увеличивающийся показатель степени z ^–1, а затем путем деления в столбик находится частное. Проиллюстрируем этот метод.

Пример 1.4. Пусть z -преобразование задано следующим выражением:

Необходимо найти его обратное z -преобразование, разложив в степенной ряд путем деления в столбик.

Решение. Вначале рассмотрим функцию X (z) с числителем и знаменателем в виде многочленов с увеличивающейся степенью z ^–1 и путем обычного деления в столбик разложим ее в степенной ряд.

Теперь выразим числитель и знаменатель через положительный показатель степени z в порядке уменьшения, а затем выполним деление в столбик.

Будем иметь

В обоих случаях z -преобразование раскладывается в один и тот же степенной ряд, т. е.

Теперь можно непосредственно найти значения соответствующей последовательности x (n)

Деление в столбик можно сформулировать иначе, так что значения последовательности x (n) будет получаться рекурсивно:

(1.57)

где n = 1, 2,....

Пример 1.5. Используя рекурсивный алгоритм, найти первые четыре члена обратного z -преобразования

из предыдущего примера.

Решение. Сравнив данное выражение с выражением для X (z)общего вида, получим

Тогда

Следовательно, первые четыре значения обратного z -преобразования будут следующими:

Видно, что оба способа деления (рекурсивный и прямой) дают одинаковые результаты.

Сравним рассмотренные методы вычисления обратного z -преобразо­вания. Ограничение метода разложения в степенной ряд состоит в том, что он не дает решения в аналитическом виде (хотя в простых случаях его можно получить), но зато он прост и пригоден для вычисления с помощью компьютера. Однако из-за его рекурсивности, необходимо внимательно следить за возможным нарастанием численных ошибок при большом числе заданных значений обратного z -преобразования.

Методы разложения на элементарные дроби и вычетов дают результаты в аналитическом виде. Главный их недостаток – необходимость разложения на множители многочлена знаменателя, т.е. находить полюсы функции X (z). Если порядок функции высокий, то поиск полюсов X (z), если функция не представлена в разложенном виде, – задача довольно трудная. Кроме того, если функция X (z) имеет полюсы высокого порядка, то оба метода могут потребовать включения операции дифференцирования высокого порядка. Однако, если нужно найти решение в аналитическом виде, то лучше выбрать метод вычетов или разложения на элементарные дроби. Последний метод особенно полезен для генерирования коэффициентов параллельных структур для цифровых фильтров. Метод вычетов также нашел широкое применение при анализе ошибок квантования в системах дискретного времени.

Следует отметить, что использование, например, программного пакета MATLAB значительно упрощает операции вычисления как прямого, так и обратного z -преобразования.

8. Передаточная функция дискретных систем. Диаграммы нулей и полюсов. Условие устойчивости.

Как известно, выходная последовательность y (n) линейной дискретной системы с постоянными параметрами определяется сверткой входной последовательности и импульсной характеристики системы h (n).

(1.59)

Найдём z -преобразование данного выражения, пользуясь его свойствами

(1.60)

где Y (z), X (z) и H (z) - z -преобразование последовательностей y (n), x (n)и h (n) соответственно.

Функцию

(1.61)

для физически реализуемых систем называют передаточной или системной функцией линейной дискретной системы с постоянными параметрами.

Очевидно также, что

(1.62)

т. е. передаточная функция линейной дискретной системы представляет собой отношение z -преобразования выходной последовательности к z -пре­образованию входной при нулевых начальных условиях.

Пример 1. Найти передаточную функцию цифровой системы, описываемой разностным уравнением

Решение. Используя известные свойства z -преобразования, получим:

Отсюда

Таким образом, по заданному набору разностных уравнений, описывающих некоторую систему, можно определить её передаточную функцию, а по известной передаточной функции H (z) можно найти разностное уравнение, характеризующее данную систему. Наконец, если система описывается линейным разностным уравнением общего вида

(1.63)

то её передаточная функция определяется выражением

(1.64)

Так как данное выражение представляет собой отношение полиномов, то для физически реализуемых систем его можно представить в следующем виде:

(1.65)

или

(1.66)

где  – постоянная величина, z_k – нули, а p_k – полюсы функции H (z).

Следует отметить, что для цифровых фильтров предпочтительнее использовать первое выражение для H (z), так как регистр сдвига или элемент линии задержки с отводами реализует оператор z ^–1.

Из последних выражений следует, что с точностью до скалярного множителя  передаточная функция может быть полностью описана картиной полюсов и нулей в z или в z ^–1-плоскости.

Для физически реализуемой и устойчивой системы модули полюсов её передаточной функции должны удовлетворять условию:

в z -плоскости (1.67)

или

в z ^–1-плоскости, (1.68)

где k = 1, 2,... N.

Эквивалентным требованием является расположение полюсов внутри единичной окружности на z -плоскости или вне этой окружности на z ^–1-плоскости. С учётом этих требований при описании передаточной функции диаграммой нулей и полюсов в z или z ^–1-плоскости удобно изображать и единичную окружность с тем, чтобы было видно расположение полюсов относительно этой окружности.

Если полюс лежит за пределами единичной окружности на z -плос­кости, то система будет неустойчивой. На практике система с полюсом, лежащем на единичной окружности, также считается неустойчивой или потенциально неустойчивой, поскольку незначительное возмущение или ошибка обязательно приведут систему в состояние неустойчивости. Исключение составляет только тот случай, когда полюс на единичной окружности совпадает с нулем, так что его действие компенсируется. Импульсная характеристика неустойчивой системы будет бесконечно расти со временем.

Однако, несмотря на кажущуюся простоту проверки на устойчивость (найти положение полюсов передаточной функции), на практике определение положения полюсов может оказаться совсем не простой задачей.

Следует отметить, что полюсы и нули передаточной функции H (z) могут быть действительными или комплексными. Если они комплексные, они идут комплексно-сопряженными парами, чтобы коэффициенты a_k и b_k были действительными. Очевидно также, что если известны положения полюсов и нулей функции H (z), то и саму функцию H (z) можно восстановить с точностью до константы.

Пример 1.7. Выразить следующую передаточную функцию через ее полюсы и нули, построить диаграмму нулей и полюсов и определить устойчивость соответствующей дискретной системы:

Решение. Для удобства выразим H (z) через положительные показатели степени z, а затем разложим ее так, чтобы можно было найти полюсы и нули.

Если умножить числитель и знаменатель на z ³– самую высокую степень z, получим

Рис. 1.17. Диаграмма нулей и полюсов к примеру 1.7

 

 

В результате разложения будем иметь:

Как видно, полюсы находятся в точках и в точке Нули – в точках и . Соответствующая диаграмма нулей полюсов выглядит следующим образом (рис. 1.17).

Как видно, все полюсы находятся внутри единичной окружности на z -плоскости и, следовательно, дискретная система с данной передаточной функцией является устойчивой.

Пример 1.8. Найти передаточную функцию H (z) линейной дискретной системы, диаграмма нулей и полюсов которой выглядит таким образом (рис. 1.18).

Решение. Согласно диаграмме нулей и полюсов, нули передаточной функции находятся в точках а полюсы – в точках Отсюда можно записать выражение для передаточной функции:

Данная система, как видно из диаграммы нулей и полюсов, также является устойчивой.

Рис. 1.18. Диаграмма нулей и полюсов к примеру 1.8

Передаточная функция единственным образом определяет импульсную характеристику дискретной системы и является основным аппаратом при исследовании соединений и различных форм реализации цифровых фильтров. Для нахождения однозначной выходной последовательности системы необходимо знать входную последовательность и внутренние начальные условия.

9. Частотная характеристика дискретных систем. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики.

Как известно, для того, чтобы получить частотную характеристику любой системы необходимо на её вход подать гармоническое колебание, а затем исследовать сигнал на выходе. Если система линейная, то на её выходе будет гармоническое колебание той же частоты, но с другими амплитудой и фазой.

Для дискретных систем в качестве входной используется последовательность

(1.69)

Выходная последовательность дискретной системы, имеющей импульсную характеристику h (n), определяется известным образом:

(1.70)

Обозначив

(1.71)

получим

(1.72)

Как видно, для выбранного класса входных последовательностей отклик дискретной системы совпадает с входной последовательностью с точностью до комплексного множителя .

Функция которую называют частотной характеристикой системы, описывает амплитудные и фазовые изменения входной экспоненциальной последовательности при условии, что ряд для сходится.

С учетом (1.65) выражение (1.72) можно представить таким образом:

(1.73)

Отсюда

(1.74)

Выражение (1.74) позволяет определить частотную характеристику как зависимость отношения реакции системы к гармоническому воздействию от частоты в установившемся режиме.

Функция в общем случае является комплексной и ее можно представить через модуль и аргумент

(1.75)

где – амплитудно-частотная (АЧХ), – фазочастотная (ФЧХ) характеристики линейной дискретной системы.

Определим физический смысл АЧХ и ФЧХ. С этой целью перепишем выражение (1.72) с учетом представления частотной характеристики в виде (1.74)

(1.76)

где – амплитуда, – фаза реакции системы.

Сравнивая выражение (1.76) с воздействием (1.65), можно получить следующее определение АЧХ и ФЧХ.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – это частотная зависимость отношения амплитуды реакции к амплитуде гармонического воз­действия в установившемся режиме

(1.77)

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – это частотная зависимость разности фаз реакции и гармонического воздействия в установившемся режиме

(1.78)

В этой связи можно говорить о фазовом сдвиге, который получает входной гармонический сигнал при прохождении через линейную дискретную систему.

10. Фазовая и групповая задержка. Цифровая частота и единицы измерения частоты, которые используются в цифровой обработке сигналов.

Следует отметить, что в общем случае влияние фазовой характеристики системы на входной сигнал принято характеризовать фазовой задержкой и групповым временем задержки (групповой задержкой).

Фазовая задержка на частоте q – это задержка гармонического колебания с частой q, проходящего через систему. Значение фазовой задержки равно фазовому сдвигу, вносимому системой, деленному на частоту гармонического колебания и взятому со знаком «минус»:

(1.69)

Групповая задержка (групповое время задержки или запаздывания) – это задержка огибающей узкополосного сигнала со средней частой w. Групповая задержка определяется как производная от ФЧХ по частоте, взятая со знаком «минус»:

(1.80)

Часто говорят, что фазовая задержка – это величина временной задержки, которую испытывает каждая частотная составляющая сигнала при прохождении через линейную дискретную систему, а групповая задержка – это средняя временная задержка составного (сложного) сигнала.

Для модуля и аргумента частотной характеристики справедливы также следующие выражения:

(1.81)

и

(1.82)

где – действительная, а – мнимая части частотной характеристики.

Отсюда видно, что модуль частотной характеристики (АЧХ) – функция четная, а аргумент (ФЧХ) – нечетная функция частоты.

Нетрудно также заметить, что частотная характеристика является периодической функцией q с периодом 2p.

Поскольку это так, то выражение для можно интерпретировать как ряд Фурье, в котором коэффициентами являются выборки импульсной характеристики h (n). Отсюда следует, что h (n) может быть определена через как коэффициенты ряда Фурье периодической функции, т. е.

(1.83)

Это представление имеет место не только для импульсных и частотных характеристик линейных систем, но и для любых последовательностей. Например, для произвольной последовательности x (n) можно записать

(1.84)

и

(1.85)

Так как для линейных дискретных систем справедливо выражение:

(1.86)

то с учётом вышеизложенного и из свойств рядов Фурье можно получить следующее равенство

(1.87)

Из этого выражения следует, что выходную последовательность линейной дискретной системы с постоянными параметрами можно получить, вычислив обратное преобразование Фурье от произведения частотной характеристики системы и преобразования Фурье входной последовательности.

Отсюда также можно получить еще одно выражение, определяющее частотную характеристику дискретной системы

(1.88)

т. е. частотная характеристика равна отношению преобразования Фурье выходной последовательности к преобразованию Фурье входной последовательности.

Сравнивая выражения для передаточной и частотной характеристик, легко заметить, что частотная характеристика может быть получена из выражения для передаточной функции путём простой замены на .

Следует отметить, что во всех рассмотренных выше выражениях q – это так называемая цифровая частота, которая связана с круговой частотой w таким образом:

(1.90)

При этом необходимо отметить, что при дискретизации аналоговых сигналов их спектр согласно теореме отсчетов ограничивается верхней частотой

(1.91)

вследствие чего спектр дискретных сигналов, а также частотные характеристики дискретных систем рассматриваются в диапазоне частот который иногда называют основным диапазоном или основной полосой частот.

В этой связи определенный интерес представляет вопрос о единицах измерения частоты, которые используются в цифровой обработке сигналов.

Как правило, для описания, например, частотных характеристик дискретных систем пользуются двумя единицами измерения частоты –w (рад/с) и (Гц). Если частота измеряется в рад/с, то частотная характеристика принимает значения от до или, что эквивалентно, от до (поскольку ). Если пользоваться стандартной единицей измерения частоты в герцах, частотный диапазон будет меняться от 0 до или от 0 до Обе эти единицы можно записать в нормированном виде, т. е. при или, что эквивалентно, Тогда представляющий интерес частотный интервал или основную полосу частот можно выразить одним из шести следующих эквивалентных способов:

(1.92)

(1.93)

Измерение частоты в герцах больше привлекает, если пользоваться графиками частотной характеристики или требования­ми к дискретным системам. Однако при оценке численных математических формул в ЦОС удобнее пользоваться величинами, выраженными в рад/с, или их нормированными значениями. Применение нормированных частот позволяет исследовать частотные характеристики дискретных систем и спектры дискретных сигналов в единой полосе частот.

Для ЦОС важны не абсолютные значения частоты сигнала и частоты дискретизации, а их отношение

Пример 1.9. Заданы требования к частотной характеристике дискретного полосового фильтра в виде:

полоса пропускания – (6–10) кГц,

полосы затухания – (0–4) и (12–16) кГц,

частота дискретизации – 32 кГц.

Необходимо:

1. Выразить требования через нормированную частоту f.

2. Перевести требования из стандартных единиц (Гц) в рад/с.

3. Перевести требования п.2 из рад/с в нормированную частоту q.

Решение:

1. Граничные частоты, заданные в Гц, можно записать в нормированном виде, просто разделив каждое их значение на частоту дискретизации. В результате получим:

полоса пропускания – (0,1875–0,3125);

полосы затухания – (0–0,125) и (0,375–0,5);

частота дискретизации – 1.

2. Поскольку то для того, чтобы перейти к рад/с, каждую граничную частоту необходимо умножить на 2p. Тогда

полоса пропускания – (12 000 p – 20 000 p) рад/с,

полосы затухания – (0–8000 p) и (24 000 p – 32 000 p) рад/с,

частота дискретизации – 64 000 p рад/с.

3. Граничные частоты из п.2 можно представить в нормированном виде, разделив каждую из них на 32 кГц (частоту дискретизации), например,

Таким образом, требования приводятся к виду:

полоса пропускания –

полосы затухания – и

частота дискретизации – 2p.

11. Общая характеристика дискретного преобразования Фурье. Задачи, решаемые с помощью ДПФ. Дискретный ряд Фурье.

Как показывает опыт, оптимальные характеристики цифровых систем и устройств, ориентированных на обработку сигналов, определяются двумя главными факторами: качеством используемых в задачах обработки вычислительных методов и алгоритмов и качеством их отображения на архитектуру соответствующих аппаратно-программных средств.

Среди ряда вычислительных методов важное место занимают методы обработки на основе дискретных преобразований Фурье. Универсальность этих методов объясняется тем, что в них используются такие свойства преобразований, как ортогональность и полнота системы базисных функций, линейность и обратимость, существование равенства Парсеваля, инвариантность спектров к сдвигам, а рациональность этих методов – возможностью реализации на основе алгоритмов быстрого преобразования Фурье.

Задачи, решаемые с помощью ДПФ

Операция	Задачи из области использования
Свёртка в частотной области	Определение выходного сигнала системы, цифровая фильтрация, идентификация систем, прогнозирова­ние, моделирование
Корреляционная функция (КФ)	Выявление детерминированных (периодических) сиг­налов в зашумлённом сигнале, распознавание клас­сов логических функций и их свойств, сравнение эталона с изображением
Взаимокорреляционная функция (ВКФ)	Определение задержки и тракта прохождения сиг­нала, выявление случайного сигнала на фоне шумов
Энергетический спектр	Вычисление КФ, определение вклада сигнала в сме­си частот, построение спектрограмм, вычисление АЧХ системы
Взаимный энергетический спектр	Вычисление ВКФ, определение частотной характеристики системы, определение задержки сигнала как функции частоты, нахождение функции коге­рентности, линейное прогнозирование, синтез и ана­лиз оптимальных фильтров с заданным критерием точности

Преобразование Фурье, например, играет важную роль при статистическом анализе случайных сигналов, распознавании образов, в обработке изображений, исследовании физики плазмы и полупроводниковых материалов, микроволновой акустике, сейсмологии, океанологии, радиолокации и медицинских исследованиях.