Общая характеристика цифровых фильтров

Линейную дискретную систему с постоянными параметрами, описываемую разностным уравнением

(2.1)

обычно принято называть цифровым фильтром.

В данном выражении, как известно, x(n) – отсчеты входного сигнала; y(n) – выходного, а a_k и b_k являются постоянными величинами, которые чаще называют коэффциентами фильтра.

В настоящее время разработаны эффектвнные методы выбора коэффициентов a_k и b_k, обеспечивающие получение заданных характеристик проектируемых фильтров.

Фильтр, описываемый данным уравнением, можно реализовать программным или аппаратным способом, используя цифровые устройства, выполняющие три операции: задержку, умножение и сложение на основе регистров сдвига, умножителей и регистров сдвига.

Найдем z-преобразование выражения, описывающего цифровой фильтр в самом общем случае:

 

 

Левую часть данного выражения, являющейся z-преобразованием выходной последовательности y(n), обозначим через Y(z). Правую часть можно вычислить с помощью свойства сдвига z-преобразования. В результате получим:

Отсюда легко найти передаточную функцию

(2.2)

 

Как видно из полученного выражения, H(z) является рациональной функцией от z^-1.

Цифровые фильтры принято делить на рекурсивные и нерекурсивные. Если хотя бы один из коэффициентов b_k в выражении (2.1) или (2.2) не равен нулю, то для вычисления y(n) требуются ранее вычисленные выходные выборки. Такой фильтр называется рекурсивным. Если же все коэффициенты b_k равны нулю, то для вычисления y(n) не требуются ранее вычисленные выходные выборки и фильтр, реализующий такой алгоритм, называется нерекурсивным. Из (2.1) следует алгоритм работы такого фильтра:

 

(2.3)

 

Соответствующая передаточная функция определяется выражением:

(2.4)

Очевидно, что не рекурсивные фильтры представляют собой устройства без обратной связи

Из выражений (2.3) и (2.4) следует, что для не рекурсивных цифровых фильтров выборки импульсной характеристики совпадают со значениями соответствующих коэффициентов, т. е.,

(2.5)

 

По этой причине нерекурсивные фильтры являются фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ – фильтры), а рекурсивные – фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ – фильтры). Нерекурсивные фильтры иногда называют трансверсальными.

Легко видеть, что КИХ – фильтры имеют только конечное число нулей, тогда как БИХ – фильтры имеют как нули, так и полюсы. Именно это обстоятельство(отсутствие полюсов) делает нерекурсивные фильтры всегда устойчивыми и физически реализуемыми. Цифровые рекурсивные фильтры, как уже отмечалось, устойчивы, если все полюсы передаточной функции H(z) расположены внутри единичного круга в z-плоскости.