Анализ влияния конечной разрядности

Решение задачи аппроксимации и реализации фильтров предполагает что входные и выходные данные представлены если не с бесконечной, то очень высокой точностью. В то же время реально, например, коэффициенты фильтра представляются конечным числом бит (обычно от 8 до 16) и, кроме того, арифметические операции, указанные в разностных уравнениях, выполняются с использованием арифметики конечной точности.

Влияние конечного числа разрядов проявляются в ухудшении свойств разработанного фильтра, а в некоторых случаях фильтр может стать неустойчивым. При разработке фильтров необходимо проанализировать данные эффекты и выбрать подходящую длину слова (число разрядов) для представления коэффициентов…

 

28. Расчет цифровых БИХ-фильтров по данным аналоговых фильтров. Этапы и требования к процедурам перехода.

 

Рассмотрим выражение, определяющее передаточную функцию рекурсивных фильтров в общем случае:

Н(z) = (3.1)

Нетрудно заметить, что при замене переменной z на s выражение (3.1) представляет собой передаточную функцию аналогового фильтра. Сходство передаточных функций цифровых и аналоговых фильтров приводит к тому, что одним из наиболее целесообразных подходов к проектированию цифровых рекурсивных фильтров является нахождение в определенном смысле цифровых вариантов методов расчета аналоговых фильтров. Реализация этого подхода требует разработки достаточно простых алгоритмов, обеспечивающих переход от расчета аналоговых фильтров к расчету цифровых. При этом можно выделить следующие два этапа /5/:

1) Получение подходящей передаточной функции H(s) аналогового фильтра, которая удовлетворяет заданным требованиям.

2) Создание процедуры перехода, которая преобразует функцию H(s) в соответствующую передаточную функцию H(z), для получения метода расчета цифрового рекурсивного фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям. Этот двухшаговый алгоритм для наглядности можно представить в следующем виде (рис. 3.3)

 

Задано: технические характеристики фильтра

 

Расчет цифрового фильтра

 

Расчет аналогового фильтра

 

Процедуры перехода

Рис. 3.3 Иллюстрация процесса расчета цифровых рекурсивных фильтров по данным аналоговых

Такая методика наиболее целесообразна при проектировании фильтров с типовыми характеристиками, таких, например, как фильтры нижних и верхних частот, полосовых и режекторных. В этом случае данный метод позволяет эффективно использовать обширную литературу по проектированию аналоговых фильтров, тщательно разработанную радиоспециалистами за последние несколько десятилетий. Естественным является то, что практическое применение рассматриваемых методов требует глубоких знаний вопросов расчета и проектирования аналоговых фильтров.

Поскольку рассчитанные на первом этапе аналоговые фильтры удовлетворяют заданным требованиям, необходимо иметь уверенность в том, что полученные цифровые фильтры также обладают всеми требуемыми свойствами, включая частотные характеристики, т.е. поведением амплитуды и фазы аналоговых фильтров. По этой причине желательно, чтобы процедура перехода удовлетворяла следующим условиям:

1) Мнимая ось плоскости-s (, для ) должна отображаться в единичную окружность в z-плоскости ( для - ) (рис. 3.4а). Формально это условие записывается в следующем виде:

 

{ }à{ } (3.2)

 

Это свойство необходимо для сохранения частотных характеристик аналоговых фильтров.

2)Левая половина s-плоскости (Re[s]<0) должна отображаться в часть z-плоскости внутри единичного круга (|z|<1) (Рис. 3.4б). Это условие также можно представить в виде:

 

{s|Re[s]<0} à {z | |z|<1} (3.3)

 

Последнее условие необходимо для сохранения свойств устойчивости аналоговых фильтров. Иначе говоря, процедура перехода должна переводить устойчивые аналоговые фильтры в устойчивые цифровые.

 

 

Re[s] Re[z]

 

a)

 

Im[s] Im[z]

 

Re[S] Re[Z]

 

 

б)

Рис. 3.4 Условия, которым должны удовлетворять процедуры перехода в соответствии с Рис. 3.3.

Основными методами в рассматриваемой процедуре расчёта являются:

1) Метод численного интегрирования.

2) Метод инвариантного преобразования (инвариантности) импульсной характеристики.

3) Метод билинейного z-преобразования

4) Метод согласованного z-преобразования.

5) Метод размещения нулей и полюсов.

Рассмотрим каждый из них.

28. Методы расчета цифровых рекурсивных фильтров: инвариантное преобразование импульсной характеристики, билинейное z-преобразование

Метод инвариантного преобразования (инвариантности) импульсивной характеристики

 

Метод синтеза цифровых фильтров, основанный на использовании импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипа, называют методом инвариантного преобразования (инвариантности) импульсной характеристики. Для более наглядного представления эта процедура приведена на рис.3.5. Эта процедура устанавливает, что импульсная характеристика h(n) результирующего цифрового фильтра представляет собой дискретизированную импульсную характеристику h(t) соответствующего аналогового фильтра и определяется следующим образом:

, (3.13)

где Т – интервал дискретизации.

 

 

 

 

 

Процедура расчета по методу инвариантного преобразования импульсной характеристики.

 

Применяя затем к импульсной характеристике цифрового фильтра z-преобразование, можно найти передаточную функцию и составить алгоритм цифровой фильтрации.

Определим необходимую для данного метода замену комплексной переменной s на z в передаточной функции аналогового фильтра (процедуру перехода).Для этого разложим передаточную функцию Н(s) исходного аналогового фильтра на простые дроби:

 

, (3.14)

 

где: N > M 0, b_N 0, b₀ 0, а все полюсы различны.

 

Кроме того, для всех ί; = 1,2…, N, представляет собой ί; - ый полюс аналогового фильтра, а _i - вычет функции Н(s) в полюсе . Импульсную характеристику h(t) аналогового фильтра можно получить, если найти обратное преобразование Лапласа выражения (3.14). В результате получим:

 

, (3.15)

 

Подставив (3.15) в (3.13), получим импульсивную характеристику h(n) соответствующего цифрового фильтра:

 

· , (3.16)

 

Передаточная функция Н(z) результирующего цифрового фильтра определяется путем нахождения z-преобразования импульсной характеристики, заданной выражением (3.16), следующим образом:

 

· .

 

Изменив порядок суммирования и просуммировав по n, получим:

. (3.17)

 

 

Сравнивая выражения (3.14) и (3.17), можно получить соотношение перехода от аналоговых фильтров к цифровым для метода инвариантного преобразования импульсной характеристики:

, (3.18)

 

где – полюс цифрового фильтра, соответствующий полюсу аналогового фильтра.

 

БИХ - фильтры высоких порядков обычно реализуются на основе последовательного или параллельного соединения биквадратных блоков. Следовательно, особый интерес представляет случай N=2. В этом случае преобразование (3.17) имеет вид

 

 

 

Исследование метода инвариантности на соответствие двум необходимым условиям процедуры перехода (3.2) и (3.3) показывает, что горизонтальная полоса шириной в s-плоскости отображаются соответственно на всю z-плоскость, т.е. левая и правая половины этой полосы отображаются соответственно в части z-плоскости внутри и вне единичной окружности, а мнимая ось – в единичную окружность. Поэтому все сложные полосы из s-плоскости шириной будут при отображении накладываться друг на друга в z-плоскости (рис.3.6).

 

 

Рис. 3.6 Свойства процедуры перехода на основе инвариантности импульсной характеристики

 

Отсюда следует, что для того, чтобы частотные характеристики исходного аналогового фильтра и рассчитываемого методом инвариантного преобразования импульсной характеристики цифрового фильтра соответствовали друг другу, необходимо, чтобы полоса пропускания аналогового фильтра находилась в пределах диапазона . Другими словами, из-за эффекта наложения метод инвариантности импульсной характеристики применим только для аналоговых фильтров с существенно ограниченной частотной характеристикой, которая удовлетворяет условию:

 

|H(jω) | 0 для | ω|>ω_в,

 

т.е. в случае нижних частот и полосовых, с достаточно резким срезом АЧХ.