Метод билинейного Z-преобразования

Для исключения эффекта наложения, присущего методу инвариантного преобразования импульсной характеристики, необходимо определить однозначное непрерывное отображение из s-плоскости в z-плоскость. Одним из таких преобразований является билинейное z-преобразование, при котором для преобразования характеристики аналогового фильтра H(s) в характеристику эквивалентного цифрового фильтра применяется следующая схема:

где или

 

С помощью несложных преобразований можно найти обратное соотношение:

 

или

 

.

 

Для билинейного z-преобразования выполняются оба условия перехода. В этом случае мнимая ось I_m [s] s-плоскости полностью отображается в единичную окружность на z-плоскости, а левая полуплоскость s-плоскости отображается на z-плоскости внутрь единичного круга. Другими словами, физически реализуемый устойчивый аналоговый фильтр преобразуется с помощью билинейного преобразования в физически реализуемый устойчивый цифровой фильтр.

 

 

 

Можно также показать, что билинейное преобразование – однозначная функция. Это означает, что каждой точке в z-плоскости соответствует только одна точка в s-плоскости и наоборот. Из этого свойства следует, что при билинейной процедуре преобразования отсутствует эффект наложения.

Методики расчета ЦФ на основе метода билинейного преобразования сводится к нахождению подходящей передаточной функции Н(s) аналогового фильтра и применения к ней соответствующей замены комплексной переменной для получения передаточной функции Н(z) требуемого цифрового фильтра

,

 

При этом преобразовании, как уже отмечалось, будут сохраняться частотная характеристика и свойства устойчивости аналогового фильтра.

Тем не менее, следует отметить, что это не означает того, что частотные характеристики аналогового и цифрового фильтра будут полностью идентичными. Одинаковой на самом деле оказывается только их «форма». Это объясняется тем, что цифровая частота θ= Т и аналоговая частота ω связаны нелинейным соотношением:

 

, или

 

Действительно, подставляя в выражение

 

, и ,

 

получим

 

 

Отсюда легко получить предыдущее выражение.

 

 

 

 

Рис. Связь между аналоговой и цифровой частотой, иллюстрирующая эффект деформации

Связь аналоговой частоты и цифровой в этом случае почти линейна при малых значениях , но становится нелинейной при больших значениях , что приводит к искажению (или деформации) цифровой частотной характеристики. Для компенсации этого эффекта аналоговый фильтр (его одна или несколько критических частот) обычно предварительно деформируется перед применением билинейного преобразования. Например, при разработке фильтра нижних частот предварительной деформации подвергается частота среза или граничная частота:

где - заданная частота среза;

- деформированная частота среза;

или

T - интервал дискретизации

 

Несмотря на это метод билинейного преобразования дает лучшие результаты перехода от аналоговых фильтров к цифровым по сравнению с методом численного интегрирования и методом инвариантности импульсной характеристики, и является, пожалуй, самым важным методом получения коэффициентов БИХ - фильтров.

Для стандартных частотно-избирательных БИХ – фильтров можно следующим образом обобщить порядок применения билинейного преобразования.

1. На основе требований к цифровому фильтру определить нормированный аналоговый фильтр-прототип с передаточной функцией H(s).

2. Определить и деформировать граничные или критичные частоты нужного фильтра. Для нижних или верхних частот существует единственная граничная частота (частота среза) . Для полосовых и режекторных фильтров имеется верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания и , каждую из которых необходимо деформировать (могут также задаваться граничные частоты полосы затухания):

 

 

 

3. Денормировать аналоговый фильтр-прототип, заменив s в передаточной функции H(s) с помощью одного из следующих преобразований (в зависимости от требуемого фильтра):

4. Применить билинейное z-преобразование и получить передаточную функцию нужного цифрового фильтра H(z), заменив s в денормированной передаточной функции H`(s):

 

Следует отметить, что деформирование частотной шкалы и билинейное z-преобразование для повышения вычислительной эффективности можно объединить в одно преобразование:

 

 

Далее, для ФНЧ и ФВЧ порядок H(z) равен порядку передаточной функции H(s) аналогового фильтра. Например, если функция H(z) получена из функции H(s) аналогового фильтра второго порядка, то и H(z) также будет описывать систему второго порядка. Для полосовых и режекторных(заградительных) фильтров порядок H(z) будет вдвое больше порядка H(s).

Пример. Фильтр нижних частот. Требуется разработать цифровой фильтр нижних частот, аппроксимирующий следующую передаточную функцию H(s) аналогового фильтра

 

Используя метод билинейного z-преобразования, получим передаточную функцию H(z) цифрового фильтра, если частота среза по уровню 3 дБ равна 150 Гц, а частота дискретизации равна 1,28кГц.

Решение. Предварительно деформируем частоту среза аналогового фильтра рад /с:

где

 

Промасштабированный аналоговый фильтр характеризуется передаточной функцией

 

 

После применения билинейного z-преобразования получим:

 

 

Отсюда легко найти собственные разностные уравнения и структурную схему полученного цифрового фильтра.

29. Общая характеристика аналоговых фильтров-прототипов: Баттерворта, Чебышева I и II типа, Золоторева-Каура (эллиптические). Методика применения билинейного Z-преобразования.

Общая характеристика аналоговых фильтров-прототипов

Фильтры Баттерворта, Чебышева, инверсные Чебышева и эллиптические образуют четыре наиболее известных класса. Фильтр Баттерворта обладает монотонной характеристикой (Характеристика является монотонно спадающей, если она никогда не возрастает с увеличением частоты.) Характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации (колебания передачи) в полосе пропуска­ния и монотонна в полосе задерживания. Инверсная характеристика фильтра Чебышева монотонна в полосе пропускания и обладает пульсациями в полосе задерживания.

 

 

1.1. Фильтры Баттерворта

Вероятно, наиболее простая амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот у фильтра Баттерворта, которая в случае n -го порядка определяется следующим образом:

 

, (n= 1,2,3…).

(1)

 

Эта характеристика фильтра Баттерворта монотонно спадает (никогда не возрастает) при увеличении частоты. Увеличение порядка также приводит к улучшению характеристики.

Для фильтра Баттерворта минимальный порядок можно определить, подставив приведенные выше условия в (1) и решив его относительно порядка n. В результате получаем

 

(6)

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта наиболее плоская около частоты w =0 по сравнению с характеристикой любого полиномиального фильтра n -го порядка и вследствие этого называется максимально плоской. Следовательно, для диапазона низких частот характеристика фильтра Баттерворта наилучшим образом аппроксимирует идеальную характеристику. Однако для частот, расположенных около точки среза и в полосе задерживания, характеристика фильтра Баттерворта заметно уступает характеристике Чебышева, который рассматривается ниже.

Однако фазочастотная характеристика фильтра Баттерворта лучше (более близка к линейной), чем соответствующие фазочастотные характеристики фильтров Чебышева, инверсных Чебышева и эллиптических сравнимого порядка. Это согласуется с общим правилом для фильтров данного типа – чем лучше амплитудно-частотная характеристика, тем хуже фазочастотная, и наоборот.

 

1.2. Фильтры Чебышева

 

Фильтр Чебышева обладает амплитудно-частотной характеристикой, которая определяется следующим образом:

, (n =1, 2, 3...).

(8)

 

Параметры e и К – постоянные числа, а С_n является полиномом Чебышева первого рода степени n и имеет вид:

 

	Cn (x)=cos(n ×arcos(x)).	(9)

 

Амплитудно-частотная характеристика достигает своего наибольшего значения К в тех точках, где С_n равно нулю. Поскольку эти точки распределены по полосе пропускания, то характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации в полосе пропускания и монотонна в других областях. Размах этих пульсаций определяет параметр e, а их число степень n. Коэффициент усиления фильтра определяется значением К.

Минимально допустимое затухание в полосе пропускания – постоянный размах пульсаций, часто выражается в децибелах как

 

,

(11)

 

и может использоваться как характеристика фильтра Чебышева.

На основе (8) для К =1 найдем минимальный порядок фильтра Чебышева:

 

.

(14)

 

 

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева данного порядка лучше амплитудно-частотной характеристики Баттерворта, так как у фильтра Чебышева уже ширина переходной области. Однако фазочастотная характеристика фильтра Чебышева хуже (более нелинейна) по сравнению с фазочастотной характеристикой фильтра Баттерворта. Фазочастотные характеристики фильтра Чебышева для 2–7-го порядков приведены на рис. 5. Для сравнения на рис. 5 штриховой линией изображена фазочастотная характеристика фильтра Баттерворта шестого порядка. Можно также отметить, что фазочастотные характеристики фильтров Чебышева высокого порядка хуже фазочастотных характеристик фильтров более низкого порядка. Это согласуется с тем фактом, что амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева высокого порядка лучше амплитудно-частотной характеристики фильтра более низкого порядка.

 

 

Рис. 5. Фазочастотные характеристики фильтров Баттерворта и Чебышева.

 

1.3. Эллиптические фильтры

Эллиптический фильтр имеет амплитудно-частотную характеристику, которая содержит пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания и является лучшим среди всех фильтров нижних частот в том смысле, что для заданного порядка и допустимых отклонений характеристик в полосах пропускания и задерживания обладает самой узкой шириной переходной области. Пример амплитудно-частотной характеристики эллиптического фильтра пятого порядка изображен на рис. 6.

 

 

Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика эллиптического фильтра нижних частот для случая n =5.

Пульсации в полосе пропускания равны по значению и могут характеризоваться максимальным допустимым затуханием в полосе задерживания. Эта величина которую мы также будем называть неравномерностью передачи, в полосе пропускания (РRW), дБ, согласно обозначению на рис. 6 равна:

 

PRW =–20×log10(A 1).

(15)

 

Пульсации в полосе пропускания так же равны по значению (хотя не обязательно равны размаху пульсаций в полосе пропускания) и характеризуются минимальным затуханием в полосе задерживания МSL, дБ, следующим образом:

MSL =–20×log10 (A 2).

(16)

 

30. Эффекты конечной разрядности чисел в БИХ-фильтрах. Ошибки квантования коэффициентов, ошибки переполнения и округления. Предельные циклы.

Влияние конечной разрядности в БИХ - фильтрах. Получаемые при расчете коэффициенты сек и вк имеют бесконечную или очень высокую точность, обычно 6-7 десятичных разрядов. Если же цифровой фильтр реализуется, например, 8-битовым микрокомпьютером, то при представлении коэффициентов и выполнении арифметических операций, указанных в разностном уравнении появляются ошибки. Эти ошибки отрицательно сказываются на быстродействии фильтра и даже могут привести к его неустойчивости.

Основными искажающими факторами цифровых БИХ – фильтров являются:

- Шумы квантования АЦП

- Ошибки (погрешности) квантования коэффициентов, вызванные представлением коэффициентов БИХ – фильтров конечным числом битов (разрядов).

- Ошибки переполнения, которые возникают при сложении или промежуточном суммировании частичных результатов в регистрах ограниченной длины.

- Ошибки округления результатов, когда выходная последовательность y(n) и результаты внутренних арифметических операций округляется (или усекаются) до разрешенной длины слов.

Степень ухудшения характеристик фильтров зависит, во-первых, от длины слова и типа арифметики, используемой для выполнения операции фильтрации, во-вторых, метода, используемого для квантования коэффициентов и переменных фильтра, и, в-третьих, структуры фильтра. В зависимости от реализации фильтра, некоторые эффекты могут быть незначительными. Например, если фильтр реализуется как программа на языке высокого уровня (например, на больших компьютерах), то ошибки квантования коэффициентов и округления будут несущественными. При обработке в реальном времени входные и выходные сигналы, коэффициенты фильтра и результаты арифметических операций представляются с использованием слов конечной длины (обычно 8, 12 и 16 бит). В таких случаях практически всегда необходимо проанализировать влияние квантования на быстродействие фильтра.

Влияние конечной разрядности более сложно проанализировать для БИХ чем для КИХ – фильтров из-за наличия обратной связи.

Ошибки квантования коэффициентов. Как известно, передаточная функция БИХ – фильтров характеризуется следующим выражением:

 

 

Если коэффициенты квантуются до конечного числа битов, например, 8 или 16, квантованную передаточную функцию можно записать следующим образом: где , ;

и - погрешности представления коэффициентов a_k и b_k.

q- «квантованный коэффициент».

Основное влияние квантования коэффициента фильтра с использование конечного числа битов проявляется в изменении полюсов и нулей передаточной функции на комплексной плоскости, что может привести к следующим последствиям:

- неустойчивость или потенциальная неустойчивость фильтров высокого порядка с узкой переходной полосой и полюсами, близкими к единичной окружности;

- изменение желаемой частотной характеристики.

31. КИХ-фильтры с линейной фазовой характеристикой и их свойства.

Существует четыре типа КИХ-фильтров с линейной фазовой характеристикой, отличающихся четностью N и типом симметрии h (n) (положительная или отрицательная).

Импульсные характеристики фильтров с линейной фазовой характеристикой.

Симметрия импульсной характеристики	Число коэффициентов N	Частотная характеристика	Тип фазовой характеристики
Положительная симметрия	нечетное
	четное
Отрицательная симметрия	нечетное
	четное

 

Частотная характеристика фильтра типа 2 всегда равно нулю при f = 0,5 (половина частоты дискретизации, поскольку все частоты нормированы на частоту дискретизации). По этой причине фильтры данного типа не используются в качестве фильтров верхних частот. Фильтры тип 3 и 4 (отрицательно-симметричная импульсная характеристика) вносят сдвиг фазы на p/2, а их частотная характеристика всегда равна нулю при f = 0, так что такие фильтры нельзя использовать как фильтры низких частот. Кроме того, характеристика фильтров третьего типа всегда равна нулю при f = 0,5, так что их также не стоит применять как фильтр верхних частот. Фильтры первого типа наиболее универсальны. Фильтры третьего и четвертого типа часто используются при разработке дифференциаторов и фильтров, реализующих преобразование Гильберта, поскольку такие фильтры могут давать сдвиг фазы на 90°.

Следует отметить, что фазовую задержку (фильтры типа 1 и 2) или групповую задержку (фильтры всех четырех типов) можно выразить через число коэффициентов импульсной характеристики, которые можно подобрать так, чтобы фильтр давал нулевую фазовую или групповую задержку. Например, для фильтров типа 1 и 2 фазовая задержка записывается таким образом

(2.101)

а групповая задержка для фильтров типа 3 и 4 равна

(2.102)

где T – интервал дискретизации.

Разработка КИХ-фильтров также включает пять этапов, содержание которых было рассмотрено при изучении БИХ-фильтров. Здесь рассмотрим некоторые особенности требований, предъявляемых к КИХ-фильтрам.

При рассмотрении фазовой характеристики достаточно указать, какая нужна симметрия – четная или нечетная (предполагается, что фазовая характеристика линейная). Амплитудно-частотная характеристика, как правило, также задается в виде допусков: неравномерность в полосе пропускания, ослабление в полосе затухания, граничные частоты полосы пропускания и полосы затухания, частота дискретизации.

Другой важный параметр – это длина импульсной характеристики N, которая определяет число коэффициентов фильтра (иногда на величину N вводится ограничение, например, в случае, если возможная скорость обработки фиксирована).

32. Расчет цифровых КИХ-фильтров: методы взвешивания и частотной выборки.

 

Процедура расчета КИХ-фильтров методом взвешивания следующая:

1. Задается требуемая или идеальная частотная характеристика фильтра

2. Находится импульсная характеристика желаемого фильтра либо путем нахождения преобразования Фурье частотной характеристики, либо нахождением обратного z -преобразования передаточной функции H (z), которая может быть получена из частотной характеристики заменой e^{j q} на z.

3. Выбирается весовая функция, которая удовлетворяет заданным требованиям к полосе пропускания или затухания, а затем определяется число коэффициентов фильтра, используя выражение для связи длины импульсной характеристики фильтра с шириной переходной полосы пропускания (записываются через частоту дискретизации).

4. Получают значение выбранной весовой функции w (n) и значения коэффициентов импульсной характеристики h (n) реального КИХ-фильт­ра, умножив h_u (n) w (n):

(2.108)

В настоящее время, как уже было отмечено, известно много взвешивающих функций (оконных функций), которые успешно применяются при разработке цифровых КИХ-фильтров. Как показывает опыт, в общем случае желательно, чтобы окно обладало следующими свойствами:

1) Ширина главного лепестка частотной характеристики окна, содержащего по возможности большую часть энергии, должна быть малой.

2) Энергия в боковых лепестках частотной характеристики окна должны быстро уменьшаться при приближении q к p.

Наибольшее распространение среди всех известных взвешивающих (вырезающих) функций, которые часто называют просто окнами, получили прямоугольное (окно Дирихле), обобщенное окно Хемминга, окно Блэкмана и окно Кайзера.

Преимущества и недостатки метода взвешивания.

1. Важным достоинством метода взвешивания является простота: его просто применять и легко понять. Метод требует минимального объема вычислений даже при использовании более сложных функций взвешивания, например, Кайзера.

2. Главный недостаток метода – отсутствие гибкости. Максимальная неравномерность в полосе пропускания и неравномерность в полосе подавления примерно равны, так что при разработке можно получить фильтр с либо слишком маленькой неравномерностью в полосе пропускания, либо с чрезмерно большим затуханием в полосе задерживания.

3. Вследствие того, что в методе присутствует свертка взвешивающей функции и желаемой характеристики, невозможно точно задать граничные частоты полосы пропускания и полосы подавления.4. Для выбранной взвешивающей функции (кроме функции Кайзера) максимальная амплитуда колебаний в характеристике фильтра фиксирована независимо от того, насколько велико N. Следовательно, затухание в полосе подавления фиксировано для каждой конкретной взвешивающей функции.

5. В некоторых приложениях выражения формулы для будут настолько сложными, что находить аналитически из соответствующего уравнения нет смысла. В таких случаях можно получить с помощью метода частотной выборки, а затем применять весовую функцию.

Очевидно, что метод взвешивания включает минимум вычислений. В действительности при таком подходе коэффициенты можно вычислить с помощью карманного калькулятора, хотя существуют и компьютерные программы вычисления

Метод частотной выборки.

Данный метод позволяет разрабатывать нерекурсивные КИХ-фильтры, в число которых входят как обычные частотно-избирательные фильтры (нижних и верхних частот, полосовые и режекторные), так и фильтры с произвольной частотной характеристикой. Уникальное достоинство метода частотной выборки состоит в том, что он допускает рекурсивные реализации КИХ-фильтров, что приводит к увеличению их вычислительной эффективности. При определенных условиях можно разработать рекурсивные КИХ-фильтры, коэффициенты которых – целые числа, что удобно для систем, реализованных на стандартных микропроцессорах.

 

Последовательность применения метода частотной выборки следующая:

1. Задается идеальная или желаемая частотная характеристика, затухание в полосе задерживания (подавления) и границы полос фильтра.

2. Исходя из заданных требований выбирается фильтр частотной выборки первого (выборки берутся с интервалом kf_s / N) или второго типа (выборки берутся с интервалом ).

3. На основании требований к АЧХ фильтра и данных соответствующих таблиц определяется значение N – число частотных выборок идеальной характеристики, М – число выборок в переходной полосе, ширина перехода, число частотных выборок в полосе пропускания и T_i – значения выборок в полосе перехода (i = 1, 2, …, М).

4. Используется подходящее уравнение для расчета коэффициентов фильтра.

Одним из существенных недостатков метода частотной выборки является то, что он не позволяет строго контролировать положение граничных частот или неравномерность в полосе пропускания и зависит от наличия таблиц разработки для нахождения необходимых числовых параметров.

33. Эффекты конечной разрядности чисел в КИХ-фильтрах.

 

Основные источники, как и для БИХ-фильтров следующие: шумы АЦП, ошибки квантования коэффициентов, ошибки округления результатов арифметических операций и ошибки за счет переполнения при суммировании.

Влияние ошибок коэффициентов проявляется в отклонении частотной характеристики от требуемой формы. Данное отклонение в предельном случае может означать, что фильтр не удовлетворяет заданным требованиям. В конкретной задаче разработки фильтра подходящую длину слова можно определить, получив частотные характеристики для нескольких значений длины коэффициентов. Существенную информацию можно получить, анализируя ошибки, которые вводятся квантованием коэффициентов:

(2.132)

где h_q (n) – квантованный коэффициент, h (n) – неквантованный,

e (n) – ошибки квантования коэффициентов

Физически величину e (n) можно рассматривать как импульсную характеристику некоторого фильтра, соединенного параллельно с требуемым. В частотной области влияние ошибки коэффициентов представляются паразитной передаточной функцией, также включенной параллельно с передаточной функцией точного фильтра. Целью разработчика является ограничение амплитуды с тем, чтобы частотная характеристика реального фильтра удовлетворяла заданным требованиям.

Основным следствием квантования коэффициентов является возможное увеличение максимальной неравномерности в полосе пропускания и снижение максимального затухания в полосе подавления.

Ошибки округления можно минимизировать, если точно представить все произведения в регистрах с удвоенной точностью, а результаты округлять после получения окончательного результата, т.е. вычисления y (n). Данный подход приводит к меньшей ошибке, чем при округлении каждого промежуточного произведения до суммирования.

Ошибки переполнения возникают при сложении двух произведений, например, и .

Если выходная последовательность y (n) согласуется по размеру с данной длиной слова, то переполнение в частичных суммах будет незначительным. Данное свойство является отличительной особенностью в арифметике с дополнением до двух. Если же y (n) выходит за разрешенные границы, то эту ситуацию следует предотвратить. Можно выявлять и корректировать переполненение, но этот метод не эффективен. Другой способ – масштабировать коэффициенты и/или входные данные, чтобы избежать переполнения или держать его в определенных пределах. Для масштабирования коэффициентов можно использовать один из следующих подходов:

(2.136)

или

(2.137)

Если использовать первое выражение, то переполнения не произойдет никогда, но масштабирование в таком виде часто излишне, так как рассчитано на наихудший вариант переполнения, что практически не реально. Кроме того, в этом случае возникает большой шум квантования коэффициентов, чем в методе с использованием второго выражения, в котором предполагается, что переполнение происходит время от времени.

Масштабирование входных данных часто приводит к ухудшению отношения сигнал/шум. Третий подход – это масштабировать вход и выход с целью получения наилучшего отношения сигнал/шум. Эффективным является масштабирование с масштабом, представляющим собой степень двойки.

 

34. Общая структурная схема системы ЦОС. Дискретизация сигналов. Теорема отсчетов.

 

УВЗ (УВХ) – устройство выборки-запоминания (устройство выборки-хранения); АЦП – аналого-цифровой преобразователь; АЛУ – арифметико-логическое устройство; ЦАП – цифро-aналоговый преобразователь.

Как видно, она включает, по крайней мере, три элемента: аналого-цифровой преобразователь (АЦП), процессорный блок, в состав которого входит арифметико-логическое устройство (АЛУ), контроллер и устройство микропрограммного управления, а также запоминающие устройства данных, коэффициентов и команд; цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП), установленный на выходе.

Непосредственная передача непрерывных во времени сигналов в цифровые устройства и электронно-вычислительные машины невозможна, так как аналоговые и цифровые сигналы имеют разную математическую и физическую форму представления и для их совместимости необходима процедура, известная как аналого-цифровое преобразование.

Математически эта процедура представляет собой преобразование непрерывной функции описывающей реальный сигнал, в последовательность чисел , отнесенных к фиксированным моментам времени и, как правило, делится на две самостоятельные операции или этапы: дискретизацию и квантование.

Под дискретизацией обычно понимается процесс преобразования непрерывной по аргументу функции в функцию дискретного аргумента. Очевидно, что такое преобразование может быть выполнено путем взятия отсчетов функции в определенные дискретные моменты времени .

 

Легко видеть, что при этом основная задача состоит в правильном выборе интервала дискретизации .

При квантовании происходит замена непрерывных по амплитуде значений дискретного по времени сигнала последовательностью чисел. Иначе говоря, в этом случае производится запись каждого отсчета в виде числа с конечным числом значащих цифр вместо бесконечного, которое требуется для полного представления каждого отсчета.

В основу дискретизации положена принципиальная возможность представления непрерывных сигналов в виде взвешенных сумм:

(3.1)

где - некоторые коэффициенты или отсчеты, характеризующие исходный сигнал в дискретные моменты времени,

- набор элементарных функций, с помощью которых происходит восстановление сигнала по его отсчетам.

Очевидно, что по дискретным значениям исходную функцию можно восстановить с некоторой погрешностью. Часто функцию, полученную в результате восстановления (интерполяции) по значениям , называют воспроизводящей и обозначают каким-либо другим, отличным от исходного сигнала , символом, например . Понятно, что при обработке сигналов дискретизация по времени должна производиться таким образом, чтобы по отсчетным значениям можно было бы получить воспроизводящую функцию , которая с заданной точностью отображает исходную функцию .

Как уже отмечалось, при дискретизации приходится решать вопрос о том, как часто следует брать отсчеты функции, т.е. каким должен быть шаг дискретизации

Наиболее распространенной является равномерная дискретизация, при которой шаг (интервал) дискретизации остается постоянным:

Величина, обратная интервалу дискретизации, называется частотой дискретизации.

Равномерная дискретизация, как известно, основывается на разложении исходного непрерывного сигнала в ряд Котельникова. Это разложение составляет основу теоремы Котельникова (за рубежом ее называют теоремой Шеннона, или просто теоремой отсчетов). Суть теоремы отсчетов состоит в следующем: непрер