Тербования к разрабатываемым фильтрам

Основные требования следующие:

1. Характеристика сигналов (тип источника сигналов и их потребителя, интерфейс ввода-вывода, скорость передачи данных и ширина полосы, наивысшая частота, представляющая интерес).

2. Характеристика самого фильтра (желаемая амплитудно-частотная и/или фазово-частотная характеристики, быстродействие и режимы фильтрации: реальное или модельное время).

3. Принцип реализации (например, или как компьютерная программа на языке высокого уровня или как устройство или система ЦОС на базе процессора, здесь же осуществляется выбор процессора ЦОС).

4. Другие требования (например, стоимость фильтра).

 

Реально разработчик может и не иметь достаточно информации, чтобы полностью определить фильтр на начальных этапах проектирования, но для упрощения процесса разработки необходимо сформировать максимальное число требований.

Помимо указанных этапов могут решаться и другие задачи, например, оптимизация параметров фильтра в соответствии с тем или иным критерием и проверка моделированием соответствия полученного фильтра заданным требованиям.

25. Структурные схемы БИХ-фильтров (прямая и каноническая, последовательная и параллельная формы реализации).

 

Простейшую форму реализации можно получить из выражения, определяющего разностное уравнение для рекурсивного фильтра. Соответствующая структурная схема выглядит следующим образом (Рис 2.1):

 

Рис. 2.1-прямая форма реализации рекурсивных фильтров

Данная схема известна как прямая форма реализации рекурсивных фильтров.

Из приведенной схемы видно, что для синтеза фильтра при M=N требуется 2N ячеек памяти и необходимо выполнить 2N умножений и 2N сложений. Причем, данная схема представлена таким образом, что каждый узел имеет не более двух входов. Несмотря на то, что эта условность приводит к большему числу узлов, чем необходимо, она согласуется с тем фактом, что при построении цифровых фильтров (как программным способом, так и в виде специализированных устройств) операция суммирования нескольких (больше двух) чисел осуществляется на основе формирования сумм отдельных пар чисел. В цифровой аппаратуре в отдельный момент времени, как правило, суммируются только два числа.

Характерными чертами этой структуры является ее простота и непосредственная связь с z-преобразованием. Однако ее недостатком является высокая чувствительность характеристик фильтра к погрешностям коэффициентов передаточной функции. По этой причине в большинстве практических случаев рассмотренную структуру стараются не применять.

Один из подходов к усовершенствованию структур цифровых фильтров состоит в сокращении числа элементов схем. Это приводит к так называемым каноническим формам.

Структуру цифрового фильтра принято называть канонической по отношению:

a) к элементам задержки, если их число равно порядку передаточной функции фильтра;

b) к коэффициентам передаточной функции, если число коэффициентов равно сумме степеней числителя и знаменателя передаточной функции с действительными коэффициентами (масштабирующие множители при этом не учитываются);

c) к умножителям, если их число равно числу коэффициентов передаточной функции и если реализация является канонической по отношению к ее коэффициентам.

Чаще всего канонической называют структуру, удовлетворяющую условию a).

Для получения одной из этих форм воспользуемся тем, что выражение (2.2) для передаточной функции рекурсивного фильтра можно представить в следующем виде:

 

(2.11)

 

Как видно, цифровой фильтр, соответствующий (2.11), состоит из двух последовательно соединенных фильтров, первый из которых имеет только полюса, а второй – только нули. Запишем передаточные функции H₁(z) и H₂(z) в виде:

 

(2.12а)

 

(2.12б)

Здесь W(z) – z-преобразование выходной последовательности первого фильтра. В этом случае при M=N получим два следующих разностных уравнения:

 

(2.13)

 

Структурная схема, реализующая выражение (2.13), представлена на рис. 2.2

 

Рис. 2.2- каноническая форма реализации рекурсивных фильтров

 

Как видно, эта схема имеет только N элементов задержки, 2N+1 перемножителей и 2N сумматоров, т.е. минимальное число, необходимое для реализации функции вида (2.2).

Однако наиболее распространенной формой реализации цифровых фильтров является каскадная (последовательная) форма. При этом передаточная функция H(z) представляется в виде произведения передаточных функций боле низкого порядка, обычно, первого или второго:

 

В самом деле, если p_i и z_i есть полюсы и нули функции H(z)? То ее можно представить в виде

 

(2.14)

 

и, рассматривая затем пары комплексно-сопряженных нулей и полюсов, можно представить H(z) в виде последовательного соединения звеньев первого и второго порядков:

 

(2.15)

 

Данное соотношение предполагает множество структур, образованных каскадным соединением блоков первого и второго порядков. Очевидно, что существует значительная свобода в выборе как формы построения блоков, так и последовательности их расположения. На практике важно выполнить каскадное построение при минимальном объеме памяти, поэтому при аппаратной реализации чаще используются звенья второго порядка. Этот подход в общем случае обычно рассматривается на примере каскадной формы построения цепи, когда передаточная функция имеет вид:

 

(2.16)

 

где - наибольшее целое число содержащееся в (считается что M N).

Данная форма записи выражения для H(z) предполагает попарное объединение действительных полюсов и нулей. При этом, если число действительных нулей нечетное, то один из коэффициентов равен нулю. Аналогично, если число действительных полюсов нечетное, то один из коэффициентов равен нулю. Таким образом, можно создать каскадную структуру с минимальной памятью, если каждый блок второго порядка выполнить в канонической форме. При этом отдельные звенья такой структуры часто называют биквадратными блоками звеньями. На рис. 2.3 представлена структурная схема системы шестого порядка на основе биквадратных блоков.

 

Рис. 2.3- каскадная форма реализации системы шестого порядка на основе биквадратных звеньев

 

Существует значительная гибкость как при выборе способа попарного объединения полюсов и нулей, так и последовательности, в которой следует располагать сформированные блоки второго порядка. В предположении неограниченной точности представления переменных и коэффициентов порядок расположения блоков и способ группирования нулей с полюсами не имеют значения (цепи будут эквивалентны). Однако на практике для реальных устройств эти вопросы имеют весьма важное значение. Еще одна трудность, связанная с особенностями последовательной формы состоит в необходимости введения масштабирующих множителей между отдельными блоками. Эти множители не должны позволять переменным фильтра принимать слишком большие или слишком малые значения. Все эти вопросы более подробно будут рассмотрены при реализации цифровых фильтров.

Передаточную функцию H(z) можно также представить в виде разложения на простые дроби:

 

(2.17)

 

Если коэффициенты a_k и b_k в (2.2) являются действительными, то и величины А_k, B_k, C_k, c_k и d_k – также действительные. В том случае, когда M < N последнее слагаемое в выражении (2.17) отсутствует.

Таким образом, H(z) можно представить в виде суммы передаточных функций звеньев более низкого порядка:

 

и рассматривать как параллельную комбинацию систем первого и второго порядка. При таком построении действительные полюсы могут быть попарно сгруппированы и выражение для H(z) примет вид:

 

(2.18)

 

На рисунке 3.10 показан типовой пример параллельной формы реализации цифровых фильтров.

Очевидно, что каждое звено параллельной формы может быть реализовано в виде биквадратного блока.

 

26. Структурные схемы КИХ-фильтров (прямая, каскадная, с частотной выборкой, схемы фильтров с линейной фазой, на основе метода быстрой свертки).

 

Рассмотрим далее основные структурные схемы нерекурсивных фильтров. В случае физически реализуемых систем их передаточная функция имеет вид:

 

(2.19)

 

Это означает, что если длина импульсной характеристики равна N отсчетам, то H(z) является полиномом по z^-1 степени N-1. Поэтому H_H(z) имеет N-1 полюс в точке z=0 и N-1 нулей, которые могут быть в любом месте на ограниченной z-плоскости. Точно так же, как и рекурсивные фильтры, нерекурсивные могут иметь множество форм построения. Наиболее широко известна и применима прямая форма, которая приведена на рисунке 3.11.

Легко видеть, что данная структура идентична структуре

рисунка 3.8, когда все коэффициенты b_k=0. Таким образом, прямая форма построения нерекурсивных фильтров является частным случаем

 

прямой формы рекурсивных фильтров. Из-за сходства этой структуры с линией задержки с отводами ее часто называют фильтром с многоотводной линией задержки(отсюда и иногда применяемый термин «трансверсальный» фильтр). Аппаратурная реализация таких структур оказывается довольно простой. Для нее требуется только один умножитель, один накапливающий сумматор и два блока циркулирующей памяти на регистрах сдвига.

При построении фильтров, не имеющих полюсов, часто используется последовательная структура. В этом случае передаточная функция H(z) представляется в виде произведения передаточных функций систем первого и второго порядка, т.е.

 

(2.20)
Здесь (система второго порядка) или (система первого порядка),

N_M – целая часть .

На рисунке 3.12 приведена структурная схема цепи, соответствующая (3.77), в предположении, что передаточная функция представлена в виде произведения сомножителей второго порядка.

Для построения нерекурсивных фильтров довольно часто применяют еще несколько структур, которые не имеют аналогов с рекурсивными фильтрами общего вида, содержащих и нули, и

полюсы. Наиболее распространенная из них основана на методе быстрой свертки, когда свертка вычисляется с помощью обратного преобразования Фурье от произведения преобразований Фурье входной последовательности и импульсной характеристики системы (рис.14).

Применив для представления полиномиальной передаточной функции (2.20) известные интерполяционные формулы, можно получить другие структурные схемы, реализующие эту функцию. Например, при использовании интерполяционной формулы Лагранжа будем иметь следующее выражение

 

(2.21)

где

(2.22)

 

причем массив {z_n}, образован N произвольными точками на z-плоскости, в которых вычислены значения H(z_n)

Z-преобразования (2.20), используемые при расчете коэффициентов (2.22). Из (2.21) следует, что полученная структура состоит из последовательно соединенных блоков первого порядка (имеющих нули в точках z=z_n, n=0,1,…, N-1), последовательно к которым подключена группа из N параллельно соединенных блоков первого порядка (они имеют полюсы в точках z=z_n, n=0,1,…, N-1). Структурная схема, реализующая выражение (2.21), представлена на рисунке 3.13

 

 

Данная структура позволяет реализовать любые

Z-преобразования вида (2.20). В этом случае каждый из полюсов параллельно соединенных блоков структуры компенсирует один из нулей последовательно соединенных блоков, что дает эквивалентный фильтр с N-1 нулями. Значение H(z) в каждой из точек z_n равно заданной величине H(z_n). Так как H(z) является многочленом (N-1)-й степени, то он полностью определяется своими значениями в N различных точках. Следовательно, выражения (2.20) и (2.22) полностью эквивалентны. Однако, с точки зрения числа элементов задержки структура Лагранжа не является канонической, так как в ней используется 2N элементов задержки (по N в параллельной и последовательной частях структуры). Тем не менее данная и аналогичные структуры широко применяются для решения многих практических задач. Дополнительные преимущества структуры выявляются при изучении чувствительности ее характеристик к ограничению точности представления коэффициентов фильтра.

Важным является частный случай структуры Лагранжа, когда последовательность z_n состоит из точек, равномерно распределенных по единичной окружности, т.е.

 

(2.23)

 

При этом член правой части (2.20), содержащий произведения, будет иметь вид

 

(2.24)

 

а равенство (3.78) превращается в

 

(2.25)

 

Равенство (2.25) получается путем подстановки условия (2.23) в формулу (2.22). Получаемая при этом структурная схема фильтра имеет передаточную функцию вида

 

. (2.26)

 

Она представлена на рисунке 3.14 и носит название структуры на основе частотной выборки, поскольку коэффициенты фильтра равны отсчетам передаточной функции фильтра , взятым в N точках, равно мерно распределенных на единичной окружности.

 

В структуре с частотной выборкой при выполнении

в параллельной части арифметических операций с конечной точностью полностью скомпенсировать нули, сгруппированные в (2.26) в члене (1-Z^-N), с помощью полюсов не удается. В итоге, фильтр будет иметь и нули, и полюсы, а длина его импульсной характеристики станет неограниченной. Тем не менее, данная структура позволяет весьма эффективно создавать фильтры, у которых большинство коэффициентов для умножителей равны нулю. Такие цепи можно просто отбросить. Это обстоятельство позволяет, например, для получения одного выходного отсчета обойтись небольшим числом умножений.

Одной из наиболее важных особенностей нерекурсивных систем является то, что они могут иметь строго линейную фазовую характеристику. Импульсная характеристика для физически реализуемых нерекурсивных систем с линейной фазой обладает свойством симметрии

 

h(n) = h (N-1-n) (2.27)

 

В |2| показано, что передаточная функция таких фильтров для N четного определяется выражением

 

(2.28)

 

Если N нечетное, то

 

(2.29)

 

Полагая , можно получить выражения для частотных характеристик:

 

 

для N четного

 

и

для N нечетного

 

В обоих случаях суммы в скобках являются действительными и учитывают линейный фазовый сдвиг, соответствующий задержке отсчетов(следует отметить, что для N четного не является целым).

Выражения (2.28) и (2.29) подразумевают прямую форму построения системы, которая требует на (N четное) или на

(N-нечетное) умножений больше по сравнению с N умножениями, необходимыми в общем случае, см. рисунке 3.12. Эти структуры представлены на рисунке 3.15а и 3.15б.

 

 

Существуют и другие структуры нерекурсивных фильтров, основанных, например, на интерполяционных формулах Ньютона и Эрмита, разложении H(z) в ряд Тейлора. Однако, эти структуры еще мало изучены и практически не применяются.

 

27. Проектирование цифровых фильтров. Основные этапы и их краткая характеристика.

 

Проектирование цифровых фильтров сводиться к задаче определения передаточной функции, которая представляет собой рациональную функцию от z^-1 случае рекурсивных или полином от z^-1 в случае нерекурсивных систем. Передаточная функция соответствующего фильтра должна удовлетворять предъявляемым техническим требованиям. На практике характеристики цифровых фильтров, как правило, задаются в частотной области, так как такие системы используются в большинстве случаев для выполнения операции фильтрации цифровых сигналов, полученных из аналоговых путем дискретизации и квантования. На рис.3.16 приведены амплитудно-частотные характеристики идеальных частотно-избирательных фильтров нижних и верхних частот, полосовых и режекторных (заграждающих), которые наиболее широко применяются при обработке сигналов. Однако на практике частотные характеристики идеальных фильтров невозможно реализовать абсолютно точно по двум причинам. Первая состоит в том, что получить идеальную форму амплитудно-частотной характеристики фильтра можно только в пределе при стремящемся к бесконечности числу членов передаточной функции. Поэтому фактически используется лишь аппроксимация характеристик идеальных фильтров. Вторая состоит в том, что из-за ограниченного числа данных истинная передаточная функция есть в действительности свертка теоретической передаточной функции с функцией вида (sin x)/x. Однако, несмотря на это реализованные на практике цифровые фильтры столь же хороши для решения многих задач науки и техники, как и идеальные фильтры.

В общем случае порядок расчета цифровых фильтров, реализуемых программным способом на ЭВМ или аппаратным способом в виде специализированных устройств, сводится к следующим этапам:

· Определение требуемых свойств фильтра.

· Вычисление коэффициентов передаточной функции фильтра, при которых фильтр удовлетворяет заданным требованиям.

· Выбор подходящей структуры фильтра.

· Анализ влияния конечной разрядности на параметры фильтра.

· Рализация фильтра на програмном и (или) аппаратном уровне.

 

 

|Н(e^jθ)|

 

 

 

0 θ_c θ

а)

 

 

|Н(e^jθ)|

 

 

0 θ_c θ

б)

 

|Н(e^jθ)|

 

 

0 θ₁ θ₀ θ₂ θ

 

в)

 

|Н(e^jθ)|

 

 

0 θ₁ θ₀ θ₂ θ

 

Рисунок 3.16. Амплитудно-частотные характеристики идеальных фильтров. А – нижних частот, б – верхних частот, в – полосовых, г – режекторных. Штриховкой указаны частоты, которые пропускаются фильтром.

 

Указанные этапы не всегда независимы и часто они не располагаются в данном порядке. Чтобы получить эффективный фильтр, инога приходится данный процесс проводить в несколько итераций, особенно если требования не являются совершенно поределенными (как обычно и бывает), или же разработчик намерен исследовать альтернативные структуры.