Метод модифицированных периодограмм

 

Таким образом, для получения оценок спектральной плотности мощности на основе дискретного преобразования Фурье, как правило, осуществляется взвешивание исходной выборки с помощью оконных функций, отличных от прямоугольной. В этом случае выражение

(1.232)

называют модифицированной периодограммой.

Умножение обрабатываемых данных на весовую функцию, обнуляющую имеющуюся выборку по краям, уменьшает амплитуду выборок в местах спада, а следовательно, и общую мощность сигнала. Вообще говоря, все частотные составляющие в равной степени подвержены влиянию весовой функции и можно показать, что коэффициент изменения данных пропорционален корню квадратному из коэффициента когеретного усиления мощности. Последний представляет нормированную мощность исходных данных, если их рассматривать как сигнал напряжения. Весовая функция также выравнивает средний уровень данных, увеличивая тем самым полную энергию низкочастотных составляющих спектра. Данный эффект необходимо каким-то образом компенсировать, но прямое вычитание среднего взвешенных данных приводит к более явному проявлению высокочастотных боковых лепестков.

Покажем, что влияние взвешивания, проявляющегося в снижении энергии сигнала и появлении низкочастотных составляющих в спектре, можно избежать путем взвешивания линейной функции данных, а не самих данных.

Пусть исходные данные x (n) имеют нулевое среднее. Пусть среднее значение, введенное в данные при взвешивании, удалено путем вычитания из x (n) постоянной величины k ₁. В этом случае новые взвешенные данные можно представить как

(1.233)

где – отсчеты весовой функции, или весовые коэффициенты.

Снижение мощности сигнала, вызванное взвешиванием, можно компенсировать, умножив каждое значение x ₁(n) на подобранную константу k ₂. Тогда x ₁(n) преобразуют к виду

(1.234)

Требуемое значение k ₁ можно найти из условия равенства нулю среднего значения x ₂(n), т. е.

Следовательно,

Отсюда

(1.235)

Нормированная мощность данных до взвешивания равна

(1.236)

где через M обозначено математическое ожидание, а – дисперсия x (n) со средним значением k ₁.

Нормированная мощность взвешенных данных будет определяться аналогичным образом

(1.237)

При этом предполагается, что w (n) и x (n) взаимно независимы. Значение k ₂, требуемое для выравнивания мощности взвешенных и невзвешенных данных, можно получить, приравняв уравнения (1.236) и (1.237)

откуда

Следовательно,

(1.238)

Подставляя (1.235) и (1.238) в уравнение (1.234), окончательно получим

(1.239)

Как было отмечено выше, для получения состоятельных оценок спектральной плотности мощности используется усреднение нескольких периодограмм. Среди известных методов наибольшее применение получил метод Уэлча. В этом методе K сегментов данных длины M перекрываются и периодограммы вычисляются по K взвешенным сегментам. Далее периодограммы нормируются на величину U, чтобы компенсировать потери энергии вследствие процедуры взвешивания.

(1.240)

Таким образом, оценка Уэлча спектральной плотности мощности представляется в следующем виде

(1.241)

где

модифицированная периодограмма, вычисленная по i -ому сегменту. Каждая из функций обладает свойствами периодограммы, описанными выше. Уэлч показал, что математическое ожидание данной оценки можно представить в виде

(1.242)

где – истинная спектральная плотность мощности анализируемого процесса x (n), а

– дискретное преобразование Фурье оконной функции.

Из (1.242) следует, что математическое ожидание искомой оценки равно свертке истинной спектральной плотности мощности с квадратом модуля Фурье-преобразования последовательности окна.

Для вычисления дисперсии используется тот факт, что дисперсия среднего арифметического K независимых одинаково распределенных случайных величин равна произведению дисперсии любой из них (они равны между собой) на множитель 1/ K. Следовательно

(1.243)

или, учитывая то, что

(1.244)

Таким образом, дисперсия периодограммы Уэлча обратно пропорциональна числу усредняемых периодограмм и стремится к нулю с его ростом. Легко видеть, что увеличение объема выборки N приводит к увеличению M и K. Поэтому при стремлении N к бесконечности как смещение, так и дисперсия оценки Уэлча стремятся к нулю. Отсюда следует, что усредненная периодограмма является асимптотически несмещенной оценкой спектра мощности

При 50 %-ном перекрытии сегментов и использовании треугольного окна дисперсия оценки Уэлча будет определяться выражением

(1.245)

Таким образом, используя сдвиг сегментов всего лишь на половину ширины окна, можно уменьшить дисперсию оценки почти в два раза (но за счет удвоения времени вычисления).

23. Метод Блэкмана и Тьюки получения оценки спектральной плотности мощности. Сравнительная оценка качества методов получения СПМ.

 

Этот метод позволяет получать оценку спектральной плотности мощности через преобразование Фурье оценки корреляционной функции. Следует отметить, что метод Блэкмана-Тьюки (коррелограммный метод) был разработан в 1958 г., тогда как алгоритм БПФ для эффективного вычисления ДПФ не был опубликован до 1965 г. Кроме того, этот метод имеет некоторые преимущества по сравнению с методом периодограмм. Например, метод Блэкмана-Тьюки характеризуется большей добротностью. К тому же, корреляционную функцию теперь можно вычислять с помощью ДПФ посредством быстрой корреляции.

Одна из возможных оценок спектральной плотности мощности, получаемая на основе несмещённой оценки корреляционной функции которая вычисляется при временном сдвиге с максимальными значениями в интервале определяется выражением

(1.246)

Данная оценка определяется для интервала частот Максимальное значение временного сдвига L, как правило, меньше числа отсчетов N выборки исходных данных. Использовать максимальное значение было предложено Блэкманом и Тьюки. Выбор такого максимального значения основывался на стремлении исключить большие значения дисперсии, связанные с оценками корреляционной функции при больших временных сдвигах, поскольку такие значения дисперсии давали менее устойчивую оценку СПМ.

Математическое ожидание оценки (1.246) можно вычислить обычным образом:

(1.247)

где – преобразование Фурье прямоугольного окна (ядро Дирихле).

Несмотря на то, что оценка СПМ вычисляется с использованием несмещенных оценок корреляционной функции, она будет смещенной оценкой истинной спектральной плотности мощности. Неявное присутствие прямоугольного окна при конечной корреляционной последовательности приводит к оценке, которая, по сути, является сверткой истинной спектральной плотности мощности с преобразованием Фурье дискретно-временного прямоугольного окна.

Для уменьшения эффекта просачивания из-за неявного присутствующего прямоугольного окна, а следовательно, и для уменьшения смещения оценки необходимо использовать (2 L + 1)-точечное корреляционное окно w (n) нечетной длины на интервале симметричное относительно начала отсчета. Наиболее общая форма корреляционного метода оценивания СПМ в этом случае принимает следующей вид:

(1.248)

где должна использоваться несмещенная оценка корреляционной функции.

Выражение (1.248) и определяет оценку, которая была предложена Блэкманом и Тьюки, о чем свидетельствует подсрочный индекс ВТ. Окно здесь нормируется так, чтобы w (0) = 1, поэтому оценка будет несмещенной, мощность отсчетов сохраняется, а следовательно, оценка будет правильно промасштабирована как оценка СПМ. Если необходимо, чтобы не площадь под кривой оценки Блэкмана и Тьюки была пропорциональна мощности истнной СПМ, а пики этой оценки были пропорциональны мощности импульсов в спектре, то выражение (1.248) следует промасштабировать величиной 1/ N D t. Не следует применять корреляционные окна, Фурье-образ которых меньше нуля, поскольку это приводит к получению отрицательных значений СПМ, что противоречит ее физическому смыслу. Не все весовые функции удовлетворяют данным критериям. Например, им не удовлетворяют функции Хемминга и Ханна, Кайзера и прямоугольное окно. С увеличением числа значений оценки коррелограммный метод дает асимптотически несмещенные оценки СПМ. Блэкман и Тьюки рекомендовали использовать число оцениваемых значений корреляционной последовательности примерно равному 10 % числа имеющихся отсчетов данных.

Дисперсия оценки Блэкмана и Тьюки определяется выражением:

(1.249)

Очевидно, что при так что при данных условиях оценка Блэкмана и Тьюки является состоятельной.

Для вычисления оценки СПМ, определяемой выражением (1.248), на сетке из (N + 1) частот где используют алгоритмы БПФ. Значение N здесь может быть произвольным, но обычно а это значит, что полученная оценка будет сохранять тонкие детали спектра. При использовании значений временного сдвига от L + 1 до N отсчеты имеющихся данных необходимо дополнить нулями.

Сравнивая процедуру Блэкмана и Тьюки с периодограммным методом, нетрудно заметить, что в этом случае сглаживание достигается не за счет усреднения нескольких периодограмм, а за счет усредняющего эффекта процесса корреляции.