Основные направления, задачи и алгоритмы цифровой обработки сигналов

Основные направления, задачи и алгоритмы цифровой обработки сигналов

В большинстве практических задач обработки сигналов и изображений преобладают базовые методы линейной алгебры, методы преобразований и фильтрации на основе свёртки и корреляции.

Главным требованием к устройствам и системам, реализующим данные методы, как уже отмечалось, является их высокая производительность и наличие большой памяти, определяемой громадными объёмами входных данных. Для применений в реальном времени часто необходимы скорости вычислений, превышающие 10⁹ операций в секунду. Таблица 1.1 более подробно иллюстрирует требования к быстродействию средств цифровой техники в различных областях их практического применения.

Следует отметить, что большинство алгоритмов ЦОС обладает такими общими свойствами как регулярность, рекурсивность и локальность, что позволяет в значительной степени повысить эффективность работы реализующих их устройств.

С другой стороны, для увеличения скорости обработки и производительности необходимо использовать цифровые системы, построенные на новейшей суперкомпьютерной технологии.

Рассмотрим более подробно базовые операции и алгоритмы ЦОС, из которых выделим два основных класса: матричные операции и алгоритмы обработки сигналов.

Таблица 1.1

Требования к быстродействию средств ЦОС

Области применения ЦОС	Требуемое быстродействие (операций в секунду)
Цифровое управление
Системы наведения
Синтез речи
Кодирование речи
Спутниковые модемы
Распознавание речи
Обработка изображений
Радио- и гидролокация

Матричные операции:

а) умножение матрицы на вектор, умножение матриц, скалярное произведение, внешнее произведение;

б) решение систем линейных алгебраических уравнений: приведение матриц к треугольному виду, решение треугольных линейных систем, обращение матриц, псевдообращение;

в) спектральное и сингулярное разложение, вычисление собственных значений;

г) решение тёплицевых линейных систем.

Более подробно остановимся на алгоритмах цифровой обработки сигналов. В настоящее время выделяют следующие основные направления ЦОС:

Области приложения основных методов ЦОС

 

Направление ЦОС	Примеры решения задач
Линейная фильтрация	Селекция сигналов в частотной области; синтез фильтров, согласованных с сигналами; частотное разделение каналов; цифровые преобразователи Гильберта и дифференциаторы; корректоры характеристик каналов
Спектральный анализ	Обработка речевых, звуковых, сейсмических, гидроакустических сигналов, распознавание образов.
Частотно-временной анализ	Компрессия изображений, гидро- и радиолокация, задачи обнаружения
Адаптивная фильтрация	Обработка речи, изображений, распознавание образов, подавление шумов, адаптивные антенные решётки
Нелинейная обработка	Вычисление корреляции, медианная фильтрация; синтез амплитудных, фазовых и частотных детекторов; обработка речи, векторное кодирование
Многоскоростная обработка	Интерполяция (увеличение) и децимация (умень­шение) частоты дискретизации в многоскоростных системах телекоммуникации и аудиосистемах

Традиционными областями применения ЦОС, как уже отмечалось, являются два основных раздела - цифровой спектральный анализ и цифровая фильтрация. При этом основу спектрального анализа составляют преобразования: дискретное преобразование Фурье и эффективные алгоритмы его вычисления (алгоритмы БПФ); дискретное преобразование Уолша-Адамара; алгоритмы быстрого преобразования Адамара; дискретное преобразование Хартли, дискретное косинусное преобразование, числовые преобразования Ферма; преобразования Хаара; преобразования Хафа, преобразование Карунена-Лоева, наклонное преобразование и др.

В свою очередь, цифровая фильтрация включает: фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры), фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры); линейную фазовую фильтрацию, одномерную и двумерную медианную фильтрацию, винеровскую фильтрацию, калмановскую фильтрацию, адаптивную фильтрацию, одномерную и двумерную свёртку и корреляцию, дифференциальные фильтры, одномерную и двумерную интерполяцию и восстановление дискретизированного сигнала, сравнение с эталоном, операции с окнами (прямоугольные, гауссовы, Хемминга, Ханна, Бартлета и др).

3. Дискретные и цифровые сигналы. Основные дискретные последовательности теории ЦОС.

В задачах ЦОС объектом изучения являются дискретные сигналы и системы. Дискретные по времени сигналы могут иметь различную природу, но чаще всего они получаются в результате дискретизации аналоговых (непрерывных по времени) сигналов (рис. 1.3).

Дискретные сигналы в большинстве случаев описываются решётчатыми функциями где – интервал (шаг) дискретизации. Величина, обратная интервалу является частотой дискрети­зации:

(1.1)

В большинстве случаев интервал дискретизации выбирается постоянным (равномерная дискретизация), т. е.

Значения сигнала в момент времени называются его выборками или отсчётами. Дискретный сигнал может быть вещественным или комплексным.

Рис. 1.3. Дискретизация сигналов: ...,

При анализе дискретных сигналов удобно пользоваться нормированным временем

(1.2)

Таким образом, номер n отсчета дискретного сигнала можно интерпретировать как нормированное время.

Переход к нормированному времени позволяет рассматривать дискретный сигнал как функцию целочисленной переменной n, т.е. представлять его в виде последовательности чисел где x (n) обозначает n -й член последовательности, а индекс n может изменяться в конечных или бесконечных пределах.

При обработке сигналов в цифровых устройствах их отсчёты представляются в виде двоичных чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Этот процесс преобразования отсчётов сигнала в числа называется квантованием по уровню с последующим кодированием.

Таким образом, сигнал, дискретный по времени и квантованный по уровню, и есть цифровой сигнал.

Операции дискретизации по времени и квантования по уровню с последующим кодированием осуществляются аналого-цифровыми преобразователями (АЦП). Об этом более подробно будет изложено в третьем разделе курса лекций.

Следует отметить, что учёт в цифровых приборах и системах квантованности сигналов и коэффициентов математических операций в значительной степени усложняет теоретические исследования. Поэтому при теоретических исследованиях сигналы обычно считаются дискретными, но не квантованными (шаг квантования бесконечно мал), а затем квантованность сигналов и коэффициентов учитывается при определении погрешностей, возникающих вследствие этой процедуры.

Рассмотрим некоторые широко используемые в теории цифровой обработки сигналов дискретные последовательности.

1) Дискретная дельта-функция (единичный импульс)(рис. 1.4):

(1.3)

где n = 0, 1, 2, 3, ….

Рис. 1.4. Единичный импульс

В практике исследования дискретных систем единичный импульс играет такую же роль, что и -функция в аналоговых системах.

2) Единичная последовательность (единичный скачок)(рис. 1.5):

(1.4)

где n = 0, 1, 2, 3, ….

Рис. 1.5. Единичная последовательность

3) Периодическая последовательность. Последовательность удов­летворяющая условию

(1.5)

где k и N - целые числа, называется периодической. При этом число N является периодом данной последовательности.

Очевидно, периодическую последовательность достаточно задать на интервале одного периода, например,

Периодическая последовательность с периодом представлена на рисунке 1.6.

Рис. 1.6. Периодическая последовательность

По известному периоду дискретной последовательности можно определить параметр называемой основной частотой периодической последовательности.

4) Синусоидальная (косинусоидальная) последовательность играет существенную роль в цифровой обработке сигналов и в общем виде имеет следующий вид (рис. 1.7):

(1.6)

где A – амплитуда, w₀ – частота, Т – период, j – фаза, n = 0, ±1, ±2, ….

Рис. 1.7. Дискретная косинусоидальная последовательность

5) Экспотенциальная последовательность является наиболее важной при представлении и анализе линейных стационарных дискретных систем. В самом общем виде такая последовательность записывается в виде:

(1.7)

где n = 0, ±1, ±2, ±3, ….

Если A и a – вещественные числа, то соответствующая последовательность также называют вещественной степенной последовательностью. Если 0 и A > 0, то значение последовательности положительны и убывают при возрастании n, как на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Дискретная убывающая экспоненциальная последовательность

Когда –1< a < 0, последовательность будет знакопеременной, а ее абсолютные значения также будут убывающими. При последовательность по абсолютной величине с ростом n будет возрастать.

Экспотенциальная последовательность с комплексной a имеет вещественную и мнимую части, являющиеся взвешенными синусоидами. В этом случае, если и то исходную последовательность можно представить одним из следующих способов:

(1.8)

или

(1.9)

Это последовательность осцилирует с экспотенциально растущей огибающей, если и с экспотенциально убывающей огибающей, если

Когда последовательность называется комплексной экспотенциальной последовательностью:

(1.10)

Как видно, в этом случае вещественная и мнимая части последовательности в зависимости от n меняются синусоидально. По аналогии с непрерывным временем величину называют частотой (круговой) комплексной синусоиды или комплексной экспоненты, а – ее фазой. Так как n – безразмерное целое число, то должна измеряться в радианах. Следовательно, для дискретной экспоненты единицей частоты будет радиан на один отсчет (при этом n представляет собой последовательностей отсчетов).

Тот факт, что в формуле (1.10) переменная n всегда принимает только целые значения, приводит к некоторым существенным отличиям в свойствах дискретных и непрерывных комплексных экспотенциальных и синусоидальных последовательностей. Это отличие наиболее заметно на частоте В этом случае:

(1.11)

Более общим является тот факт, что дискретные комплексные экспотенциальные последовательности с частотами где m – любое целое число, неотличимы одна от другой. Аналогичное утверждение справедливо и для синусоидальных последовательностей:

(1.12)

Все это приводит к тому, что при рассмотрении комплексных экспотенциальных последовательностей вида или вещественных синусоидальных последовательнстей типа необходимо ограничиваться частотами, лежащими в интервале длины 2p, например или

Следующее важное отличие дискретных комплексных экспонент и синусоид от непрерывных относится к их периодичности. как известно, непрерывные синусоидальные и комплексные эскпотенциальные сигналы являются периодическими функциями, период которых равен 2p, деленному на частоту. Для дискретных периодических последовательностей, как следует из определения, их период N – обязательно целое число. Поверяя это условие для дискретных синусоид, получим

(1.13)

Отсюда следует, что

(1.14)

где k = 0, 1, …, N – 1.

Аналогичное утверждение справедливо и для комплексной экспотенциальной последовательности Она будет периодичной с периодом N только в том случае, если

(1.15)

Это равенство верно тогда и только тогда, когда как и в соотношении (1.14). таким образом, дискретные комплексная экспотенциальная и синусоидальная последовательности не обязательно изменяются периодично в зависимости от n с периодом Свойство их периодичности зависит от значения частоты

Следует еще раз подчеркнуть тот факт, что период дискретной синусоидальной или комплексной экспотенциальной последовательности должны быть только целым числом. Если не целое, но рациональное число, то соответствующая синусоидальная последовательность будет периодической, однако с периодом, большим . Если не рационально, то синусоидальная и комплексная экспотенциальная последовательности вовсе не будут периодическими.

Для иллюстрации этого рассмотрим сигнал Его период N равен 8. Данный сигнал действительно периодичен, так как ра­венство

выполняется для всех целых n, что и требуется в определении периодичности дискретных сигналов.

Однако в отличие от непрерывных сигналов увеличение частоты дискретной синусоиды не обязательно влечет уменьшение его периода. Для подтверждения этого рассмотрим последовательность имеющую бóльшую частоту, чем последовательность Очевидно, что период отличен от 8. Действительно:

В то же время легко показать, что период данного сигнала равен 16. Следовательно, увеличение частоты от до приводит к увеличению периода сигнала. Это происходит из-за того, что дискретный сигнал определен только при целых значениях n. Именно это обстоятельство, как уже было отмечено, приводит к тому, что некоторые дискретные синусоидальные сигналы могут вообще не иметь периода. Например, какое бы целое число мы не взяли, равенство будет нарушаться при некоторых целых значений переменной n.

Из условий (1.12) и (1.14) следует также, что существует только N различных значений частоты, при которых комплексная экспотенциальная последовательность имеет период N,а именно k = 0, 1, …, N – 1. Это свойство дискретных комплексных экспотенциальных и синусоидальных последовательностей носит основополагающий характер как для теории, так и для разработки численных алгоритмов в дискретном преобразовании Фурье.

Необходимо далее отметить, что верхние и нижние частоты также по-разному проявляются в непрерывных и дискретных сигналах. При росте частоты W₀ непрерывный сигнал осциллирует все быстрее и быстрее. Дискретный синусоидальный сигнал также увеличивает скорость осциллирования, при возрастании от p до 2p его колебания замедляются.

Фактически, вследствие периодичности синусоидального и комплексного экспотенциального сигналов относительно , частоты и не отличаются друг от друга. Таким образом, частоты близкие к 0, ничем не отличаются от частот, близких к 2p. Как следствие, для дискретных синусоидальных и комплексных (экспотенциальных) сигналов значение частоты в окрестности 2p k при любом значении k принято называть нижними, в то время как ее значение в окрестности (p + 2p k) называют верхними (соответственно, быстро осциллирующими).

6) Последовательность, сдвинутая по оси n. Последовательность образуется при сдвиге исходной последовательности на отсчетов вправо, если и влево, если Так, например, если имеется последовательность

т. е. x (0) = 3; x (1) = 2; x (2) = 1; x (3) = 1; x (4) = 1, то последовательности y1(n) = x (n – 2) и y ₂(n) = x (n + 2)будут выглядеть таким образом (рис. 1.10).

Произвольную последовательность можно выразить в виде линейной комбинации (суммы) сдвинутых единичных импульсов, взятых с соответствующими весами:

(1.15)

Рис. 1.10. Последовательность x (n) (а), сдвинутая вправо (б) и влево (в)

Например, рассмотренная выше последовательность может быть пред­ставлена в виде

Для более наглядного представления и получения новых последовательностей стандартные последовательности довольно часто комбиниру­ются (складываются, умножаются и т. п.). Например, экспотенциальную последовательность, члены которой равны нулю при n < 0, можно определить выражением (1.5). Однако более просто такая последовательность задается как выражение

4. Линейные дискретные системы с постоянными параметрами. Импульсная характеристика. Физическая реализуемость и устойчивость.

В общем случае дискретную систему определяют как однозначное преобразование или оператор, отображающий входную последовательность чисел сигнал в выходную (отклик, или реакцию системы), что символически можно записать в виде:

(1.17)

Графическое изображение дискретной системы представлено на рис. 1.11.

Рис. 1.11. Условное обозначение дискретной системы

Различные классы дискретных систем определяются путём наложения ограничений на преобразование T. Наибольшее распространение в обработке сигналов получили линейные инвариантные относительно сдвига системы, которые к тому же ещё и сравнительно просты в математическом описании.

Класс линейных систем определяется принципом суперпозиции. Если и – некоторые входные последовательности, а и – соответствующие им отклики, то при подаче на вход последовательности на выходе образуется последовательность для произвольных постоянных и .

С использованием символического обозначения будем иметь

(1.18)

Данное выражение объединяет оба свойства таких систем: свойство аддитивности и свойство однородности.

Системы инвариантные относительно сдвига (стационарными системами или системами с постоянными параметрами) характеризуются тем, что если входной последовательности соответствует выходная последовательность то входной последователь­ности соответствует выходная последовательность при любом . Для таких систем временной сдвиг (задержка) входной последовательности приводит к соответствующему сдвигу выходной последовательности.

Свойства линейных стационарных дискретных систем описываются с помощью импульсной характеристики которая является откликом системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях

(1.19)

Признаком нулевых начальных условий является отсутствие отклика системы при отсутствии входного воздействия (принцип причинности).

Очевидно, что

(1.20)

При описании линейных дискретных систем во временной области иногда используется переходная характеристика которая представляет собой реакцию системы на единичную последовательность

(1.21)

Выразим входную последовательность через единичный импульс

(1.22)

и найдём выходную последовательность

(1.23)

Как видно, последнее выражение представляет собой свёртку последовательностей и которую для удобства будем часто представлять в символической форме

(1.24)

Осуществляя замену переменных в полученной формуле для получим следующее равносильное равенство:

(1.25)

Другими словами, линейная дискретная система с постоянными параметрами и импульсной характеристикой при воздействии на её вход последовательности будет иметь тот же выход, что и линейная дискретная система с постоянными параметрами и импульсной характеристикой при воздействии на её вход последовательности

Две линейные системы с постоянными параметрами, включённые последовательно (каскадно), образуют линейную систему с постоянными параметрами и импульсной характеристикой, равной свёртке импульсных характеристик исходных систем (рис. 1.11). При этом результирующая импульсная характеристика системы не зависит от порядка, в котором включены исходные системы.

Рис. 1.12. Три линейные системы с постоянными параметрами с одинаковыми импульсными характеристиками

Из выражений для свёртки (1.23) и (1.25) следует также, что две линейные системы с постоянными параметрами включённые параллельно, эквивалентны одной линейной системе с импульсной характеристикой, равной сумме импульсных характеристик исходных систем (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Параллельное включение линейных систем с постоянными параметрами и их эквивалентная схема

Дополнительные ограничения физической реализуемости и устойчивости определяют практически важный, но более узкий класс линейных дискретных систем с постоянными параметрами.

Линейная дискретная система с постоянными параметрами является физически реализуемой, если её импульсная характеристика при Другими словами, физически реализуемая – это такая система, у которой изменения на выходе не опережают изменений на входе.

Устойчивой называют такую систему, для которой любая ограниченная входная последовательность создаёт ограниченную выходную. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является следующее требование к её импульсной характеристике:

(1.26)

Выполняется для устойчивых систем.

Большой класс линейных дискретных систем с постоянными параметрами можно описать с помощью линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Такое описание во многих случаях позволяет найти эффективные способы построения соответствующих устройств.

5. Линейные разностные уравнения с постоянными параметрами, их практическое значение и решение.

В общем случае линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами, относящееся к физически реализуемой системе, имеет следующий вид:

(1.27)

где коэффициенты и являются постоянными величинами и характеризуют конкретную систему.

Разностные уравнения для линейных дискретных систем играют ту же роль, что и дифференциальные уравнения для линейных аналоговых систем.

Как уже отмечалось, разностные уравнения позволяют определить способ построения соответствующей цифровой системы. Так, например, разностное уравнение первого порядка самого общего вида

(1.28)

можно реализовать с помощью следующей схемы (рис. 1.14). Здесь

 

 

Рис. 1.13. Реализация линейной дискретной системы первого порядка

блок «задержка» осуществляет задержку последовательностей x (n) и y (n) на один отсчёт.

Разностное уравнение второго порядка общего вида

(1.29)

реализуется схемой, представленной на рисунке 1.15.

 

Рис. 1.14. Реализация линейной дискретной системы второго порядка

Очевидно, что рассмотренные системы первого и второго порядка могут быть использованы при реализации систем более высокого порядка путём последовательного или параллельного их соединения.

Наиболее подходящим способом решения линейных разностных уравнений является z -преобразование, которое позволяет заменить их решение решением алгебраических уравнений. Применение z -преобразо­вания к разностным уравнениям аналогично применению преобразования Лапласа к дифференциальным уравнениям.

6. Z-преобразование и его основные свойства. Связь с преобразованием Фурье.

В общем случае z -преобразование X (z) последовательности x (n) определяется следующим образом:

(1.30)

где z – комплексная переменная.

Функция X (z) определяется для тех значений z или z^–1, для которых ряд в правой части выражения сходится. В этой связи следует отметить, что z -преобразование сходится не для всех последовательностей и не для всех значений z.

Представляя z в экспоненциальной форме

(1.31)

из исходного выражения для z -преобразования получим:

(1.32)

Из теории функций комплексной переменной известно, что функция X (z) определяется для тех значений z в z -плоскости, для которых

(1.33)

Другими словами, исходная последовательность x (n) должна быть абсолютно суммируема.

Все значения z, для которых выполняется данное условие, образуют область сходимости z -преобразования и в этой области значения X (z) конечны. Область сходимости z -преобразования, физически реализуемой последовательности x (n), для которой для расположена вне определённого круга радиуса R в z -плоскости. Значение R зависит от расположения полюсов функции X (z) [полюс (нуль) функции X (z) расположен в точке z, где ]. Область сходимости можно также определить и в z ^–1- плоскости. В этом случае для физически реализуемой последовательности область сходимости z -преобра­зования расположена внутри определённого круга с радиусом

Пример 1.1. Найти z -преобразование и область сходимости знакопостоянной экспоненциальной последовательности

где

Решение. По определению имеем:

Полученное выражение представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая определяется по формуле:

где в данном случае а знаменатель

Таким образом,

Для определения области сходимости воспользуемся результатами, полученными выше.

Отсюда следует, что областью сходимости являются те значения z, для которых

Очевидно, что это условие выполняется тогда и только тогда, когда

Следовательно, область сходимости последовательности в данном случае представляет собой часть z -плоскости вне круга радиуса как показано на рисунке 1.15.

Из выражения для X (z) видно, что полюс X (z) расположен в точке которая является границей области сходимости. Из последнего выражения видно также, что область сходимости X (z) в z ^–1-плоскости лежит внутри круга с радиусом

 

Рис. 1.16. Область сходимости экспоненциальной последовательности
а) в z -плоскости; б) в z ^–1-плоскости

Рассмотрим основные свойства z -преобразования.

1. Линейность. Если функции и есть z -преобразование последовательностей и соответственно, то для последовательности где a и b – произвольные постоянные, z -преобразование определяется таким образом:

(1.34)

2. Умножение на константу. Если X (z) есть z -преобразование x (n), то z -преобразование последовательности

где a – произвольная постоянная, определяется так:

(1.35)

3. Умножение на экспоненциальную последовательность. Если имеет z -преобразование X (z), то z -преобразование последовательности будет определяться как

(1.36)

4. Умножение на n (дифференцирование). Если x (n) имеет z -преоб­разование X (z), то последовательность будет иметь z -пре­образование

(1.37)

Это свойство полезно для вычисления обратного z -преобразования, когда X (z) содержит полюсы высокого порядка.

5. Сдвиг (задержка). Если последовательность имеет z -преоб­разование то для последовательности z -пре­обра­зование представляется в виде

(1.38)

Множитель является оператором задержки дискретной последова­тельности x (n) на m тактов (отсчетов) для любого m.

6. Свёртка. Если