Гладкие функции на многообразии
Определение 1. Пусть
Функция
Замечание: Это определение не зависит от выбора локальной карты. ◄Допустим
Примеры: 1. Пусть
Функции Ясно, что функции
Упражнение. Привести содержательный пример гладкой функции на сфере
Обозначим далее через
Если рассмотрим отображения (2) и (3), то Если же мы рассмотрим отображения (2) и (4), то возникает коммутативное кольцо с единицей. Наконец, относительно отображений (2), (3) и (4),
|
- гладкое многообразие размерности 
, 
- функция на M. 
называется гладкой в точке 
, если существует локальная карта 
на 
такая, что отображение 
- гладкая функция в точке 
.
должна иметь все гладкие частные производные.
и 
- локальные карты 
. Докажем, что 
- гладкое.
- гладкое по определению гладкого многообразия 
- гладкая функция.►
(1)
(например, функция «высоты»):
множество всех гладких функций на 
(2)
(3)
(4)
.
