Гладкие отображения многообразий. Диффеоморфизм

 

- гладкие многообразия.

- непрерывное отображение.

.

Рассмотрим локальные карты на , на , .

 

Определение 1: Отображение называется гладким в точке , если гладким в точке является отображение .

: .

Отображение называется гладким на многообразии M, если оно гладкое для всех точек .

 

Замечание 1: Определение 1 корректно, т.е. не зависит от выбора локальных карт.

◄

- гладкое отображение.

Рассмотрим - гладкое. ►

 

Замечание 2: Гладкая функция на - частный случай гладкого отображения.

Определение 2: непрерывное отображение гладких многообразий. называется гладким отображением, если для любой гладкой функции на функция является гладкой функцией на .

Упражнение. Доказать, что Определение 1 эквивалентно Определению 2.

(Указание: использовать гладкость координатных функций).

 

Определение 3: Отображение многообразий называется диффеоморфизмом, если:

1) - биективно.

2) - гладкие отображения.

 

О классификации гладких многообразий (с точностью до диффеоморфизма).

В зависимости от размерности n ситуация такова:

: Имеется ровно два связных гладких многообразия – прямая и окружность:

: Все связные компактные ориентируемые гладкие многообразия – это сферы с ручками.

: Нет классификации.

Известно, однако, что для 3 гладкая и топологическая классификации совпадают. Знаменитая проблема Пуанкаре, решенная Г.Перельманом, является фундаментальным результатом 3-мерной топологии.

 

Гладкие структуры на .

Ранее мы указали 2 различные гладкие структуры на . Заметим, однако, что эти структуры диффеоморфны:

◄

 

Рассмотрим на 2 гладкие структуры: .

Тогда отображение является диффеоморфизмом. ►

 

В общем случае проблема описания всех гладких не диффеоморфных структур на пространстве оказалась очень сложной. Более точно, было установлено, что для

и имеется только одна гладкая структура (с точностью до диффеоморфизма) на .

Оказывается, на есть не диффеоморфные гладкие структуры (Simon Donaldson, 1988).

Позднее было установлено, что число таких структур на – континуум (!)

 

§4. Гладкие векторные поля на многообразиях. Алгебра Ли гладких векторных полей.

 

Пусть - гладкое многообразие. Введем формальное определение гладкого векторного поля. Связь такого определения с интуитивным представлением о векторных полях в евклидовом пространстве далеко не очевидна и требует значительных дополнительных построений и рассуждений. Ограничимся поэтому именно формальным, но коротким определением для произвольного абстрактного гладкого многообразия .

 

Определение 1: Гладким векторным полем на называется дифференцирование алгебры гладких функций , т.е. отображение

(1),

обладающее следующими свойствами:

1) - линейное отображение;

2) является дифференцированием, т.е. - правило Лейбница.

 

Пример: - оператор обычной производной.

Геометрически такое векторное поле можно представить следующим образом:

 

Определение 2: Пусть - гладкое векторное поле на , . Касательным вектором к в точке называется отображение

(2).

 

Замечание: В том случае, когда - поверхность, касательный вектор есть аналог производной по направлению.

 

Определение 3: Гладкое векторное поле на называется ненулевым, если .

Обозначим - множество всех гладких векторных полей на . Определим следующие отображения:

Из (3) и (4) следует, что - векторное пространство над . .

Из (3) и (5) следует, что - модуль над кольцом .

Можно ли утверждать, что ? Проверим аксиомы:

1) Очевидно, что - линейное отображение;

2) (6)

Таким образом, аксиома 2) не выполняется.

 

В то же время можно ввести иное «умножение» в векторном пространстве .

Рассмотрим

(7)

– скобка Ли (коммутатор) двух гладких векторных полей.

 

Нетрудно видеть, что:

 

1) (7) – линейное отображение;

 

 

2)

 

Таким образом, удовлетворяет аксиоме (2). Следовательно, .

 

Свойства операции :

1) билинейность

 

Это следует из определения.

 

2) антикоммутативность

 

 

3) тождество Якоби

 

.

 

Упражнение: Проверить тождество Якоби для скобки Ли.

 

Отметим, что векторные пространства с операцией, обладающей указанными свойствами, образуют замечательный класс математических объектов.

 

Определение 4: Пусть - векторное пространство над полем . называется алгеброй Ли, если задано отображение

(9)

и выполнены следующие условия:

1) билинейность;

2) антикоммутативность;

3) тождество Якоби.

 

Примеры:

 

1) Любое векторное пространство с тривиальной скобкой Ли является алгеброй Ли.

 

2)

- векторное произведение векторов.

1) билинейность;

2) ;

3) тождество Якоби: оно может быть доказано разными способами (какими?).

В частности, справедлива формула (проверить). С ее помощью можно провести короткое доказательство (убедитесь в этом!)

 

Следовательно, - трехмерная вещественная алгебра Ли.

 

3) - гладкие векторные поля на .

- алгебра Ли над . .

 

Векторные поля на сферах .

 

Главный вопрос: существуют ли всюду ненулевые гладкие векторные поля на сферах?

 

Сфера для является -мерным компактным гладким многообразием размерности .

: такое векторное поле строится очевидным образом (векторы скорости при равномерном движении)

:

Для двумерной сферы эквивалентная формулировка вопроса такова:

«Можно ли причесать ежа?» - Ответ - НЕТ.

Иными словами, в алгебре Ли не существует нигде не обращающихся в ноль гладких векторных полей.

: есть три линейно независимых ненулевых гладких векторных поля.

Количество ненулевых векторных полей на сферах исследовано (Дж. Адамс – 70-е годы ХХ века).

Только сферы - имеют максимальное количество (равное размерности) линейно независимых ненулевых гладких векторных полей. Интересно отметить, что эти сферы тесно «связаны» с комплексными числами, кватернионами, числами Кэли, соответственно.

 

Более точно, например, отметим следующее:

- группы Ли.