Группы Ли. Примеры групп Ли

 

Определение 1: Непустое множество называется группой Ли, если:

1) - группа;

2) - гладкое многообразие;

3) отображение - гладкое.

 

Замечание: аксиома 3) эквивалентна:

 

Замечание. Аксиома 3) записана для мультипликативной группы. Очевидным образом ее следует видоизменить для случая аддитивной группы.

Примеры:

 

1) - группа, - тривиальное одномерное гладкое многообразие.

Далее, рассмотрим отображение . Очевидно, что функция дифференцируема любое число раз, т.е. является гладкой функцией. Таким образом, - одномерная абелева аддитивная некомпактная группа Ли.

 

2) - мультипликативная группа. Она также является группой Ли (проверить аксиомы).

 

3) -мерная абелева аддитивная группа Ли.

 

4) - группа всех вещественных невырожденных матриц порядка n.

1) группа;

2) - гладкое многообразие размерности .

3) 3а: , - гладкая функция от .

3в: - снова гладкие функции.

Вывод: - группа Ли размерности .

 

5) - аффинное пространство над . , где - аффинное преобразование, .

Рассмотрим .

Аффинное преобразование:

.

- полупрямое произведение.

Можно показать, что - группа Ли размерности .(Проверить это).

 

Огромный ресурс примеров групп Ли возникает с помощью следующей теоремы:

 

Теорема. Любая замкнутая подгруппа группы Ли сама является группой Ли.

 

6) Группы движений классических пространств являются группами Ли.

Например, - евклидово пространство, D - группа движений .

группа Ли.

 

- псевдоевклидово пространство.

- группа псевдоевклидовых движений пространства .

Пример: - пространство Минковского (СТО).

 

7) .

Докажем аксиому 3:

.

В локальных координатах:

, т.е. - одномерная компактная группа Ли (одномерный тор ).

 

8) - двумерный тор

 

9) - цилиндр (группа Ли – прямое произведение групп Ли и R)

Известна следующая

Теорема. На любой мерной группе Ли существует линейно независимых гладких векторных полей.

 

Вывод: нельзя превратить в группу Ли.

 

10) - группа по умножению. глобальные координаты. Эта группа диффеоморфна (но не изоморфна) абелевой группе . Она является связной односвязной группой Ли, ее часто обозначают и называют группой Гейзенберга. Роль этой группы велика, например, в квантовой механике.