Студопедия — Группы Ли. Примеры групп Ли
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Группы Ли. Примеры групп Ли






 

Определение 1: Непустое множество называется группой Ли, если:

1) - группа;

2) - гладкое многообразие;

3) отображение - гладкое.

 

Замечание: аксиома 3) эквивалентна:

 

Замечание. Аксиома 3) записана для мультипликативной группы. Очевидным образом ее следует видоизменить для случая аддитивной группы.

Примеры:

 

1) - группа, - тривиальное одномерное гладкое многообразие.

Далее, рассмотрим отображение . Очевидно, что функция дифференцируема любое число раз, т.е. является гладкой функцией. Таким образом, - одномерная абелева аддитивная некомпактная группа Ли.

 

2) - мультипликативная группа. Она также является группой Ли (проверить аксиомы).

 

3) -мерная абелева аддитивная группа Ли.

 

4) - группа всех вещественных невырожденных матриц порядка n.

1) группа;

2) - гладкое многообразие размерности .

3) 3а: , - гладкая функция от .

3в: - снова гладкие функции.

Вывод: - группа Ли размерности .

 

5) - аффинное пространство над . , где - аффинное преобразование, .

Рассмотрим .

Аффинное преобразование:

.

- полупрямое произведение.

Можно показать, что - группа Ли размерности .(Проверить это).

 

Огромный ресурс примеров групп Ли возникает с помощью следующей теоремы:

 

Теорема. Любая замкнутая подгруппа группы Ли сама является группой Ли.

 

6) Группы движений классических пространств являются группами Ли.

Например, - евклидово пространство, D - группа движений .

группа Ли.

 

- псевдоевклидово пространство.

- группа псевдоевклидовых движений пространства .

Пример: - пространство Минковского (СТО).

 

7) .

Докажем аксиому 3:

.

В локальных координатах:

, т.е. - одномерная компактная группа Ли (одномерный тор ).

 

8) - двумерный тор

 

9) - цилиндр (группа Ли – прямое произведение групп Ли и R)

Известна следующая

Теорема. На любой мерной группе Ли существует линейно независимых гладких векторных полей.

 

Вывод: нельзя превратить в группу Ли.

 

10) - группа по умножению. глобальные координаты. Эта группа диффеоморфна (но не изоморфна) абелевой группе . Она является связной односвязной группой Ли, ее часто обозначают и называют группой Гейзенберга. Роль этой группы велика, например, в квантовой механике.







Дата добавления: 2015-06-12; просмотров: 773. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Приготовление дезинфицирующего рабочего раствора хлорамина Задача: рассчитать необходимое количество порошка хлорамина для приготовления 5-ти литров 3% раствора...

Дезинфекция предметов ухода, инструментов однократного и многократного использования   Дезинфекция изделий медицинского назначения проводится с целью уничтожения патогенных и условно-патогенных микроорганизмов - вирусов (в т...

Машины и механизмы для нарезки овощей В зависимости от назначения овощерезательные машины подразделяются на две группы: машины для нарезки сырых и вареных овощей...

Различия в философии античности, средневековья и Возрождения ♦Венцом античной философии было: Единое Благо, Мировой Ум, Мировая Душа, Космос...

Характерные черты немецкой классической философии 1. Особое понимание роли философии в истории человечества, в развитии мировой культуры. Классические немецкие философы полагали, что философия призвана быть критической совестью культуры, «душой» культуры. 2. Исследовались не только человеческая...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия