Задание С7 № 500371

Критерии оце­ни­ва­ния выполнения задания	Баллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) результаты
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) результатов
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) результатов
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих результатов: — Обос­но­ван­ное решение п. а; — обос­но­ван­ное решение п. б; — ис­ко­мая оценка в п. в; — при­мер в п. в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точность преды­ду­щей оценки
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше
Максимальный балл

 

Каж­дый из груп­пы уча­щих­ся схо­дил в кино или в театр, при этом воз­мож­но, что кто-то из них мог схо­дить и в кино, и в театр. Из­вест­но, что в те­ат­ре маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших театр, а в кино маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших кино.

 

а) Могло ли быть в груп­пе 10 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

б) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков МОГЛО быть в груп­пе, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

в) Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа уча­щих­ся в груп­пе без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а и б?

 

Решение.

а) Если груп­па со­сто­ит из 3 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко театр, 7 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко кино, и 10 де­во­чек, схо­див­ших и в театр, и в кино, то усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но. Зна­чит, в груп­пе из 20 уча­щих­ся могло быть 10 маль­чи­ков.

 

б) Пред­по­ло­жим, что маль­чи­ков было 11 или боль­ше. Тогда де­во­чек было 9 или мень­ше. Театр по­се­ти­ло не более 3 маль­чи­ков, по­сколь­ку если бы их было 3 или боль­ше, то доля маль­чи­ков в те­ат­ре была бы не мень­ше , что боль­ше . Ана­ло­гич­но, кино по­се­ти­ло не более 7 маль­чи­ков, по­сколь­ку но тогда хотя бы один маль­чик не по­се­тил ни те­ат­ра, ни кино, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

 

В преды­ду­щем пунк­те было по­ка­за­но, что в груп­пе из 20 уча­щих­ся могло быть 10 маль­чи­ков. Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков в груп­пе — 10.

 

в) Пред­по­ло­жим, что не­ко­то­рый маль­чик схо­дил и в театр, и в кино. Если бы вме­сто него в груп­пе при­сут­ство­ва­ло два маль­чи­ка, один из ко­то­рых по­се­тил толь­ко театр, а дру­гой — толь­ко кино, то доля маль­чи­ков и в те­ат­ре, и в кино оста­лась бы преж­ней, а общая доля де­во­чек стала бы мень­ше. Зна­чит, для оцен­ки наи­мень­шей доли де­во­чек в груп­пе можно счи­тать, что каж­дый маль­чик схо­дил или толь­ко в театр, или толь­ко в кино.

 

Пусть в груп­пе маль­чи­ков, по­се­тив­ших театр, маль­чи­ков, по­се­тив­ших кино, и де­во­чек. Оце­ним долю де­во­чек в этой груп­пе. Нулем счи­тать, что все де­воч­ки хо­ди­ли и в театр, и в кино, по­сколь­ку их доля в груп­пе от этого не из­ме­нит­ся, а доля в те­ат­ре и в кино не умень­шит­ся.

По усло­вию

 

 

зна­чит, Тогда , по­это­му доля де­во­чек в груп­пе:

 

 

Если груп­па со­сто­ит из 3 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко театр, 6 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко кино, и 8 де­во­чек, схо­див­ших и в театр, и в кино, то усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но, а доля де­во­чек в груп­пе равна .

 

Ответ: а) да: б) 10; в) .